Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Das Rechteckfenster und sein Spektrum
N
1
sin
N
:
2
j
:
¦
:
j
n
:
j
N
2
We
wn e
[]
e
(5.14)
sin
:
2
n
0
sind in Bild 5-5 für
N
= 32 skizziert. Die Breite des Fensters, die Länge der Fensterfolge
N
,
bestimmt die Breite der Hauptzipfel des Betragsspektrums. Aus (5.14) erhält man die erste
Nullstelle für positive normierte Kreisfrequenzen bei 2S /
N
.
N
1
w
[
n
]
0
n
20
10
0
10
20
30
40
50
60
40
|
W
(
e
j
:
)
|
32
32
32
Hauptzipfel
20
1. Nebenzipfel
10
:
0
0
2S
S
S
2S
2S
/ N
Bild 5-5
Rechteckfenster der Breite
N
und zugehöriges Betragsspektrum
Die Multiplikation der Folgen (5.12) ist im Frequenzbereich äquivalent zur Faltung der
Spektren.
1
2
j
:
j
:
j
:
Xe
Xe
We
(5.15)
S
Da die Spektren von Folgen periodisch sind, ergibt sich hier die periodische Faltung. Es tragen
nur die Terme in der Grundperiode bei. Das Ergebnis wird periodisch fortgesetzt.
Für das Kosinussignal mit Rechteckfensterung in Bild 5-6 erhält man aus (5.10)
1
1
j
:
j
[
::
]
j
[
::
]
X e
We
0
We
0
(5.16)
2
2
und mit (5.14) das Betragsspektrum in Bild 5-6 unten. Die Faltung reproduziert wegen der
Ausblendeigenschaft der Impulsfunktionen das Spektrum der Fensterfolge an den normierten
Kreisfrequenzen :
0
und :
0
. Die Fensterung, und somit die Kurzzeit-Spektralanalyse, führt
zum Verschmieren des zu messenden Spektrums. Zwei benachbarte Spektrallinien können
unter Umständen im Messergebnis nicht mehr unterschieden werden. Als Gütekriterium führt
man die
spektrale Auflösung
ein. Sie ist abhängig von der Wahl des Fensters. Als Maß für die
