Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
1
X
()
j
Z
X
() ()
j
ZZ
P j
(5.5)
s
2
S
Da das Spektrum des periodischen Impulskammes wieder ein periodischer Impulskamm ist
f
2
()
S
¦
Pj
Z
GZ S
2
kT
(5.6)
s
T
s
k
f
führt die Abtastung schließlich auf eine periodische Wiederholung des Signalspektrums.
f
1
¦
>
@
X
()
j
Z
X
j
Z S
2
k T
(5.7)
s
s
T
s
k
f
Im Beispiel des zeitkontinuierlichen Kosinussignals ergibt sich der in Bild 5-3 oben gezeigte
Ausschnitt des abgetasteten Signals. Das zugehörige Spektrum ist darunter dargestellt. Für die
Zeichnung wurde das Abtastintervall
T
s
=
T
0
/ 8 gewählt, womit das Abtasttheorem eingehalten
wird.
Anmerkung:
Anhand des Beispiels wird auch die Aussage des Abtasttheorems deutlich. Wird die Abtast-
frequenz
f
s
= 1 /
T
s
etwas kleiner gewählt, rücken die Impulse im Spektrum im unteren Bild von den
Kreisfrequenzen Z = r
k
Z
s
weg. Das heißt, es nähern sich die periodischen Anteile im Spektrum an.
Wird das Abtasttheorem verletzt, schieben sich die Anteile ineinander. Man spricht von einer spektralen
Überfaltung, Bandüberlappung oder
Aliasing
.
1
x
(
t
)
x
s
(
t
)
t
0
1
0
T
/2
T
T
T
/2
X
s
(
j
Z)
S
/ T
s
k
= 1
k
= 0
k
= 1
Z
Z
s
Z
0
Z
0
Z
s
0
Bild 5-3
Abgetastetes Kosinussignal und sein periodisches Spektrums (Z
s
= 8Z
0
)
5.2.2
Spektrum des zeitdiskreten Signals
Die Abtastung wurde im letzten Abschnitt aus der Sicht zeitkontinuierlicher Signale betrachtet.
Wegen des engen Zusammenhangs zwischen dem Spektrum eines zeitkontinuierlichen Signals
und seiner Abtastfolge, können die Ergebnisse unmittelbar ins Zeitdiskrete übertragen werden,
siehe Bild 5-4. Mit der normierten Kreisfrequenz
:
Z
T
(5.8)
0
0
