Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Über die Nenndrehzahl und der Messcharakteristik des Sensors kann der interessierende Fre-
quenzbereich eingegrenzt werden. Ein Tiefpassfilter sorgt für die notwendige Bandbegrenzung
vor der A/D-Umsetzung. Zur Spektralanalyse mit der FFT werden Ausschnitte
x
w
[
n
] der lau-
fend anfallenden Folge
x
[
n
] entnommen. Man spricht von einer
Fensterung
des Signals und be-
schreibt sie durch die Multiplikation der Folge mit der
Fensterfolge
(Window)
w
[
n
]. Die
einfachste Fensterfolge ist ein Rechteckimpuls, der im Bereich des Fensters den Wert 1 hat und
ansonsten 0 ist.
In Bild 5-1 finden drei prinzipielle Verarbeitungsschritte statt: die Abtastung, die Fensterung
und die FFT. Die einzelnen Schritte werden nachfolgend anhand eines Beispiels vorgestellt.
Die dabei auftretenden Effekte können mit der Fourier-Transformation erklärt werden. Im
Weiteren werden die Sätze der Fourier-Transformation für zeitkontinuierliche Funktionen bzw.
für Folgen verwendet, wie sie in einführenden Lehrveranstaltungen zur Signal- und System-
theorie zu finden sind, z. B. [Wer08b].
5.2.1
Abtastung
Wegen der einfachen grafischen Darstellung im Frequenzbereich, wird für das Beispiel das
zeitkontinuierliche Kosinussignal gewählt
x t
()
cos(
Z
t
)
(5.1)
0
mit dem impulsförmigen Spektrum, der Fourier-Transformierten, in Bild 5-2.
X
Z SGZZ SGZZ
()
(
)
(
)
(5.2)
0
0
T
0
X
(
j
Z)
1
x
(
t
)
S
S
t
0
Z
1
Z
0
Z
0
T
0
T
0
Bild 5-2
Ausschnitt aus dem Kosinussignal und Spektrum des Kosinussignals (Z
0
= 2S /
T
0
= 8S /
T
)
Die (ideale)
Abtastung
analoger Signale mit dem
Abtastintervall
(Sampling Interval)
T
s
kann
durch die Multiplikation des Signals
x
()
t
xt
()
pt
()
(5.3)
mit dem
periodischen Impulskamm
f
¦
pt
()
G
(
t nT
)
(5.4)
s
n
f
beschrieben werden. Das jetzt nur zu diskreten Zeitpunkten von null verschiedene Abtastsignal
wird im Zeitkontinuierlichen als Folge von Impulsfunktionen dargestellt, siehe Bild 5-3 oben.
Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht nach dem Modulationssatz der Fourier-Transfor-
mation einer Faltung der Spektren der Signale.
