Digital Signal Processing Reference
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§
·
j
22
S
k
j
22
S
k
1
1
¨
e
1
e
¸
Xk
[]
für
k
= 0:31
(3.8)
¨
¸
S
S
2
j
2
k
j
2
k
¨
¸
16
16
1
e
1
e
©
¹
Die Untersuchung der Brüche zeigt, dass die Zähler null sind, da in den Exponenten stets ein
ganzzahliges Vielfaches von 2S auftritt. Man beachte, dass auch die Nenner für
k
= 2 und 30
Nullstellen aufweisen. Für
k
= 2 und 30 liegen somit unbestimmte Ausdrücke vor, die aus (3.8)
mit der Regel von L'Hospital, oder einfacher direkt durch Einsetzen der beiden Werte für
k
aus
(3.7) bestimmt werden können. Es resultiert die DFT der Kosinusfolge
Xk
[ ]
6[
G
k
]
G
[
k
]
für
k
= 0:31
(3.9)
Die Kosinusfolge und ihr DFT-Spektrum sind in Bild 3-2 dargestellt. Sie wurden mit dem
Programmbeispiel 3-1 (Hauptprogramm mit Funktion) berechnet.
1
1
0
0
-1
-1
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
n
o
n
o
10
10
0
0
-10
-10
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
k
o
k
o
Bild 3-2
Kosinusfolge (oben) und ihr DFT-Spektrum (unten)
Wie in Bild 3-2 zu sehen ist, erfasst die DFT der Länge
N
= 32 genau zwei Perioden der Kosi-
nusfolge. Die DFT liefert deshalb genau zwei von null verschiedene Koeffizienten, nämlich für
k
= 2 und
k
=
N
2 = 30. Damit kann von den DFT-Koeffizienten eindeutig auf das Kosinus-
signal und seine Periode geschlossen werden.
Die Betrachtung der DFT als harmonische Analyse macht dies nochmals deutlich, siehe (3.3).
Die DFT stellt jede Folge als mit den DFT-Koeffizienten gewichtete Überlagerung von
Kosinus- und Sinusfolgen dar
N
1
1
¦
x n
[]
X k
[] cos
:
n
j
sin
:
n
für
n
= 0:
N
1
(3.10)
k
k
N
k
0
mit den normierten Kreisfrequenzen
2
S
:
k
für
k
= 0:
N
1
(3.11)
k
N
