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Man beachte in Tabelle 3-1, dass die DFT und ihr Inverses (IDFT) bis auf den Skalierungs-
faktor 1/
N
symmetrisch sind. Damit kann jede geordnete Folge endlicher Länge
prinzipiell so-
wohl als Zeitsignal als auch als Spektrum interpretiert werden. Und die Sätze der DFT für den
Zeitbereich haben ihre Entsprechungen im Frequenzbereich.
Die Überlegungen fassen die folgenden Definitionen zusammen: Die
diskrete Fourier-
Transformation
(DFT) einer Folge
x
[
n
] der Länge
N
mit
n
= 0, 1, ...,
N
1 ist die Folge der
DFT-Koeffizienten
N
1
¦
k
N
X k
[]
x n
[]
w
für
k
= 0, 1, 2, ...,
N
1
(3.1)
n
0
mit dem komplexen Faktor
N
we
S
j
2/
N
(3.2)
Die inverse DFT (IDFT), liefert wieder die ursprüngliche Folge.
N
1
N
1
1
1
ª
2
S
kn
2
S
kn
º
§
·
§
·
¦
kn
¦
xn
[]
X k w
[]
X k
[] cos
j
sin
(3.3)
¨
¸
¨
¸
«
»
N
N
N
N
N
©
¹
©
¹
¬
¼
k
0
k
0
Die Folge
x
[
n
] und ihr
DFT-Spektrum
X
[
k
] bilden ein DFT-Paar.
DFT
(3.4)
x n
[]
l
Xk
[]
Beispiel
DFT einer Kosinusfolge
Ein grundlegendes Beispiel liefert die DFT der Kosinusfolge
S
§
·
x n
[] cos
8
¹
(3.5)
¨
¸
©
Sie soll der DFT der Länge
N
= 32 unterworfen werden.
2
S
31
S
j
k
§
·
¦
32
(3.6)
Xk
[]
cos
8
n e
für
k
= 0:31
¨
¸
©
¹
n
0
Für den weiteren Rechengang ist es vorteilhaft, die Kosinusfunktion mit der eulerschen Formel
in komplex-exponentieller Form darzustellen. Nach kurzer Zwischenrechnung erhält man zwei
geometrische Reihen
S
S
§
·
31
j
2
k n
j
2
k n
1
¦
¨
¸
16
16
Xk
[]
e
e
für
k
= 0:31
(3.7)
¨
¸
2
n
0
©
¹
die in dem Ausdruck resultieren
