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Die DFT kann mit der schnellen Fourier-Transformation effizient berechnet werden.
Tabelle 3-1
Signaldarstellung im Zeit- und im Frequenzbereich Fourier-Analyse
zeitkontinuierliche Funktionen
zeitdiskrete Funktionen
Fourier-Reihe
diskrete Fourier-Transformation
(DFT)
1
f
N
1
¦
c e
Z
jkt
xt
()
0
¦
j
2/
S
nN
xn
[]
X k e
[]
k
N
k
f
k
0
t
T
N
1
00
1
jk
Z
t
¦
j
2/
S
nN
³
c
x t
()
e
0
dt
Xk
[]
xn e
[]
k
T
0
n
0
t
0
)
Linienspektrum der DFT-Koeffizienten
X
k
mit der Periode
N
zu den normierten Kreis-
frequenzen
k
2S /
N
,
k
= 0 :
N
1, mit der nor-
mierter Grundkreisfrequenz 2S /
N
und der
Periode
N
des Zeitsignals
)
Linienspektrum mit den Fourier-Koef-
fizienten
c
k
bei den Kreisfrequenzen
k
Z
0
mit
der Grundkreisfrequenz Z
0
= 2S/
T
0
und der
Periode
T
0
des Zeitsignals
Fourier-Transformation
Fourier-Transformation
(für Folgen)
f
1
1
jt
Z
³
j
::
j
n
x t
()
X
(
j
Z
)
e
d
Z
³
x n
[]
X
e
e
d
:
2
S
2
S
2
S
f
f
f
j
:
¦
:
j
n
Xe
xn e
[]
jt
Z
³
X
()
j
Z
x t
()
e
dt
n
f
f
)
allgemeines Spektrum
)
periodisches Spektrum mit Periode 2S
Wegen ihres engen Zusammenhangs mit der Fourier-Reihe wird die DFT auch als „diskrete
Fourier-Reihe“ bezeichnet. Während die Fourier-Reihe mit
k
= 0, r1, r2, ... ein unendlich aus-
gedehntes Linienspektrum zu den Kreisfrequenzen
k
Z
0
erzeugt, ordnet die DFT wegen der
Periodizität der Exponentialfunktion exp(
j
2S
k
/
N
) den
N
Elementen einer Periode der Folge
genau
N
Spektrallinien für
k
= 0, 1, ...,
N
1 zu. Man spricht deshalb auch von einer Block-
Transformation.
Für das Verständnis der DFT und ihrer Anwendung ist weiter wichtig, dass sie für periodische
Folgen definiert ist, siehe Bild 3-1, aber häufig auf Folgen endlicher Länge angewendet wird.
Da jede Folge endlicher Länge
L
mit der Periode
N
t
L
eindeutig periodisch fortgesetzt werden
kann, ist die DFT auf alle geordneten Zahlenfolgen endlicher Länge anwendbar.
Grundperiode
0
7
8
8
1
n
Bild 3-1
Periodische Folge
