Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
3
Diskrete Fourier-Transformation
3.1
Einführung
Dieser Versuch ist der erste von vier zum Thema Frequenzbereichsdarstellung mit der diskre-
ten Fourier-Transformation (DFT). Er führt Sie in die Grundlagen einer der häufigsten Anwen-
dungen der digitalen Signalverarbeitung ein, die Kurzzeit-Spektralanalyse. Wichtige mathe-
matische Zusammenhänge werden in der Versuchsvorbereitung vorgestellt und an Beispielen
erläutert. In der Versuchsdurchführung werden die Ergebnisse mit MATLAB überprüft und die
DFT zur Kurzzeit-Spektralanalyse angewendet.
Anmerkung:
Die DFT gehört zur Familie der linearen Blocktransformationen, wie die eng mit ihr verwan-
dte und in der Audio- und Videocodierung wichtige diskrete Kosinus-Transformation (DCT) [Wer08b].
Lernziele
Nach Bearbeiten dieses Versuches können Sie
x
die Definitionsgleichungen der DFT und IDFT angeben
x
die Begriffe harmonische Analyse, DFT-Spektrum und DFT-Koeffizient sowie die Zusammenhänge
erläutern
x
den prinzipiellen Zusammenhang zwischen den DFT-Koeffizienten und den transformierten
Zeitsignalen erklären
x
für Sinus- und Kosinussignale das DFT-Spektrum und umgekehrt berechnen
x
für eine periodische Kosinusfolge die DFT-Länge so bestimmen, dass das DFT-Spektrum genau
zwei von null verschiedene DFT-Koeffizienten aufweist
x
den Leakage-Effekt erklären und seine Bedeutung für die Spektralanalyse einschätzen
3.2
Grundlagen
3.2.1
Diskrete Fourier-Transformation
Die Signaldarstellung im Frequenzbereich ist in vielen Anwendungsgebieten von großer
Bedeutung. Die für zeitkontinuierliche Signale bekannten Methoden der Fourier-Analyse in
Tabelle 3-1 sind auf zeitdiskrete Signale übertragbar [Wer08b]. Der
harmonischen Analyse
periodischer, zeitkontinuierlicher Signale mit der Fourier-Reihe entspricht die
diskrete Fourier-
Transformation
(DFT) periodischer Folgen. Sie nimmt eine herausragende Rolle in der Signal-
verarbeitung ein. Ihre Bedeutung gründet sich auf vier Eigenschaften:
Die DFT lieferte eine eineindeutige Abbildung zwischen der Zeitfolge
x
[
n
] und ihrem
Spektrum
X
[
k
].
Die DFT steht in engem Zusammenhang mit der Fourier-Reihe und der Fourier-Transfor-
mation. Sie wird deshalb auch zur Analyse zeitkontinuierlicher Signale eingesetzt und auch
vom Spektrum im Frequenzbereich gesprochen.
Die DFT eignet sich besonders zur numerischen Berechnung auf Digitalrechnern, da sie
sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich diskret und von endlicher Länge ist.
