Reale digitale Filter: Quantisierte Arithmetik - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 204

35

R i ,0
in dB

25

20

15

a 1 entfällt für
: f = 90°

U f = 0.95

10

0.9
0.8
0.6

5

0

120

0 20 40 60 80 100 180

: f in Grad

Bild 18-6 Rauschzahl R i ,0 eines reellwertigen Systems 2. Ordnung in Abhängigkeit von dem Betrag U f
und der Phase : f des Polpaares

Um die Bedeutung des inneren Rauschens zu verdeutlichen sei eine ungünstige Rauschzahl
von R i = 30 dB angenommen, siehe Bild 18-6. Dann wird die Rauschleistung aufgrund der
Wortlängenverkürzung Q 2 /12 um den nicht unerheblichen Faktor 1000 verstärkt. Nach der
6dB-pro-Bit-Regel (16.19) entspricht das einem Verlust von etwa 5 Bit an Wortlänge (Prä-
zision).
Zur Abschätzung der Störung durch das innere Rauschen beachte man, dass die Zahl der
Rauschquellen sowohl von der tatsächlichen Implementierung als auch der Wahl der Koeffizi-
enten abhängt. So ist bei einem Polwinkel von 90° der Koeffizient a 1 = 0. In diesem Fall sind
nur N Q = 4 Rauschquellen wirksam. Die Rauschzahl in (18.5) nimmt sprunghaft um den Faktor
2, oder äquivalent um 3dB, ab.

18.2.3 Ersatzschaltbild für einen Block 2. Ordnung
Zum Abschluss werden die Überlegungen zu den Wortlängeneffekten der Multiplikation und
der Addition in Bild 18-7 zusammengeführt. Man beachte, dass der Block 2. Ordnung durch
die Sättigungskennlinien, oder alternativ durch die Zweierkomplement-Überlaufkennlinien, im
Falle eines Überlaufes nicht mehr linear ist. Wichtig ist ferner anzumerken: Durch die Wortlän-
geneffekte sind die in der Literatur angegebenen Filterstrukturen nicht mehr äquivalent. Je
nachdem wo die Additionen und Multiplikationen im realen System auftreten, wirken sich die
Wortlängeneffekte unterschiedlich aus.
Anmerkung: Digitale Signalprozessoren besitzen meist spezielle Hardware-Komponenten, um die Störun-
gen durch die quantisierte Arithmetik möglichst klein zu halten. So werden Akkumulatoren mit ver-
größerter Wortlänge verwendet und eine automatische Überlauferkennung und Sättigungskennlinie unter-
stützt. Im Beispiel des Blockes 2. Ordnung in Bild 18-7 könnten durch zwei Überlaufbits im Akkumulator
die vier Additionen in der Mitte ohne Fehler dargestellt werden. Erst wenn das Ergebnis, der Wert der
Zustandsvariablen s 1 [ n ] in den Speicher übertragen wird, wird die Wortlängenverkürzung, z. B. Sättigung
bei Überlauf, angewendet.