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17.4.2
Koeffizientenquantisierung und Polausdünnung
Im Weiteren wird exemplarisch einen einzelnen Block der Kaskadenform, ein reelles rekursi-
ves System 2. Ordnung mit konjugiert komplexem Polpaar und konjugiert komplexem Null-
stellenpaar betrachtet.
j
M
j
M
*
(17.7)
z
U
e
f
z
und
z
U
e
0
z
ff
1
f
2
01
0
02
Eingesetzt in die Übertragungsfunktion erhält man
1
2
2
bbz bz
12 cos
U
MU
01
2
0
0 0
Hz
()
b
(17.8)
0
1
2
2
1
az
a z
1
2
U
cos
MU
1
2
fff
Die Realisierung des Blockes 2. Ordnung im üblichen Zweierkomplement-Format erfordert die
Quantisierung der Filterkoeffizienten.
> @ > @
1
> @
2
b
b
z
b
z
0
Q
1
Q
2
Q
Hz
()
(17.9)
Q
>@
1
>@
2
1
az
a z
1
Q
2
Q
Wegen
2
(17.10)
a
2Re
z
f
und
az
f
1
1
2
1
wirkt sich die Quantisierung auf den Realteil und den Betrag der Pole aus. Für die Nullstellen
gilt entsprechendes.
Im wichtigen Fall stabiler kausaler Systeme liegen alle Pole innerhalb des Einheitskreises.
Demzufolge gilt für die Beträge der Nennerkoeffizienten
(17.11)
0
a
d und
2
0
a
1
1
2
so dass
a
1
den Zahlenbereich des Zweierkomplement-Formats überschreiten kann. Während
die Zählerkoeffizienten durch geeignete Skalierung stets betragsmäßig kleiner eins gewählt
werden können, muss für den Nenner anderweitig Abhilfe geschaffen werden. Die in Bild 17-7
gezeigte Struktur mit einer Aufspaltung der Multiplikation mit
a
1
in zwei Additionen vermei-
det die Zahlenbereichsüberschreitung um den Preis einer zusätzlichen Addition.
x
[
n
]
b
2
b
1
b
0
D
D
y
[
n
]
a
2
a
1
/2
Bild 17-7
Block 2. Ordnung für quantisierte Koeffizienten (transponierter Direktform II)
