Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
Für die für die Stabilität wichtigen Pole gilt
a
ª
º
2
1
und
>@
U
ªº
ª
Re
z
f
º
a
¬¼
(17.12)
¬
¼
«
»
2
Q
Q
2
¬
¼
Q
Q
Demzufolge sind nur diskrete Werte für den Realteil und den Betrag eines Pols möglich. Bild
17-8 zeigt die möglichen Lagen der komplexen Pole im ersten Quadranten für die Wortlänge
von 5 Bits.
1
Im(
z
)
z
0.5
Re(
z
)
0
0.5
1
Bild 17-8
Mögliche Lagen der komplexen Pole (x) im ersten Quadranten der
z
-Ebene für
w
= 5 bit
Aus Bild 17-8 ist ersichtlich, dass sich die Lage der Pole durch die Quantisierung meist ver-
schiebt, so dass der Frequenzgang gegenüber dem Entwurf erheblich verändert werden kann.
Besonders augenfällig ist die Ausdünnung der möglichen komplexen Pole um die reelle Achse,
die
Polausdünnung
. Weil bei schmalbandigen Tiefpässen die Polwinkel im Durchlassbereich
um die Null liegen, also die Pole in der Nähe von
z
= 1, macht sich bei ihnen die Koeffizienten-
quantisierung besonders ungünstig bemerkbar.
Das Sperrverhalten bei dem es vor allem auf die Nullstellen ankommt ist weniger empfind-
lich. Die Nullstellen auf dem Einheitskreis bleiben auch nach der Quantisierung dort. Nur ihre
Phasen verschieben sich gegebenenfalls.
Nach der Quantisierung bleiben die Pole des Blockes 2. Ordnung stets im Einheitskreis. Das
System ist stabil. Bei einer Implementierung in der Direktform II nach Bild 17-4 ist dies nicht
sichergestellt.
Sind die Auswirkungen der Quantisierung der Koeffizienten nicht mehr vernachlässigbar, so
sind verschiedene Gegenmaßnahmen möglich:
Berücksichtigung der Koeffizientenquantisierung bereits beim Entwurf;
Optimierung der Wortlängenverkürzung;
Implementierung des Filters in einer unempfindlicheren Struktur (Normalform, Leiter-
struktur, Wellendigitalfilter) [Fet86], [RoMu87], [Sch08], [Wer08a].
