Stochastische Signale und LTI-Systeme - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 165

Anmerkungen: Manchmal ist es nützlich zu wissen, dass jede Linearkombination gemeinsam normalver-
teilter stochastischer Variablen wieder auf eine Normalverteilung führt. Diese Eigenschaft kann man auch
der Definition der Normalverteilung zugrunde legen. Wendet man beispielsweise die DFT auf einen
Block normalverteilter stochastischer Variablen an, so sind die DFT-Koeffizienten ebenfalls normal-
verteilt.

Zentraler Grenzwertsatz

Auf der Addition unabhängiger stochastischer Variablen beruht auch der zentrale Grenzwert-
satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Unter relativ allgemeinen Bedingungen kann gezeigt
werden, dass die Überlagerung einer Vielzahl in ihrer Wirkung verschwindend kleiner, zufälli-
ger Beiträge auf eine normalverteilte Gesamtwirkung führt. Ein physikalisches Beispiel ist das
thermische Rauschen in einem Widerstand, bei dem sich die irregulären Wärmebewegungen
der Elektronen zu einer am Widerstand messbaren, normalverteilten Spannung überlagern.
Wir betrachten den Sonderfall unabhängiger, identisch verteilter stochastischer Variablen X i
mit den linearen Mittelwerten P und den Varianzen V

2 . Nach dem Grenzwertsatz von Linde-

berg-Levy [BSMM99] erhalten wir mit der Abbildung

N

X P

1

¦

i

Y

(15.8)

V

N

i 1

N o f

für eine normierte, normalverteilte stochastische Variable Y .

15.2.2 Vorbereitende Aufgaben

A15.1 Der MATLAB-Befehl randn erzeugt eine Musterfolge eines normierten Gaußpro-

zesses. Geben Sie die nötigen MATLAB-Befehle an, um eine Musterfolge mit Vari-
anz 0.5 und linearem Mittelwert 0.3 zu erzeugen.

X =

A15.2 Betrachten Sie die Addition zweier unabhängiger, in [0,1] gleichverteilter stochasti-

schen Variablen. Zeichnen Sie in Bild 15-2 die resultierende WDF der Summe ein.
Hinweis: Keine lange Rechnung erforderlich.

f ( x )

1

x

0 1 2

Bild 15-2 WDF der Summe zweier unabhängiger, in [0,1] gleichverteilter stochastischer Variablen

15.2.3 Versuchsdurchführung

M15.1 Den Ausgangspunkt bilden zwei in sich unabhängige, in [0,1] gleichverteilte stoch-

astische Prozesse X 1 [ n ] und X 2 [ n ].