Kenngrößen stochastischer Signale - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 157

Zur Bestimmung der AKF kann - Ergodizität vorausgesetzt - als Schätzfunktion der Zeitmit-
telwert in Tabelle 14-4 über einen Signalblock der Länge N herangezogen werden.

N 1

1

ˆ

¦

Rl [] xnl [ ] [ ] für xn l 0,1, ! , L

(14.12)

XX

N 1

n 0

Anmerkungen: (i) Mit L der Anwendung entsprechend. (ii) Bei Mittelwertfreiheit erhält man die bekannte
Formel für die empirische Streuung s 2 in Tabelle 14-1. (iii) Wie in Versuch 8 schon erwähnt, kann die
Schätzfunktion als Faltung, genauer Pseudofaltung , der Musterfolge der Länge N interpretiert werden.
Da die AKF eines reellen Prozesses eine gerade Funktion ist, reicht es, die Berechnung für
nicht negative Werte der Verschiebung l durchzuführen. Man beachte, dass je nach Implemen-
tierung durch die Blockgrenze die Zahl der Mittelungen mit wachsender Verschiebung ab-
nimmt. Ist die Blocklänge viel größer als die maximale Verschiebung, kann dieser Effekt meist
vernachlässigt werden. Zur Erhöhung der Vertrauenswürdigkeit können die Schätzwerte meh-
rerer Blöcke gemittelt werden.

14.4.4 Schätzung des Leistungsdichtespektrums
Aus der gemessenen Zeit-AKF lassen sich Schätzwerte für das LDS mit der DFT berechnen.
Voraussetzung dafür ist, dass die AKF für alle wesentlichen Werte von l erfasst wurde, d. h.

X Rl

[] |t 0 l L (14.13)

Anderenfalls ergeben sich Fehler ähnlich der Fensterung in der Kurzzeit-Spektralanalyse.
Darüber hinaus kann das LDS durch Zero-padding in einem engeren Frequenzraster dargestellt
werden. Programmbeispiel 14-1 enthält eine hierzu geeignete MATLAB-Kommandozeile.
Man beachte die spezielle Anordnung der Daten für den fft -Befehl. Den Ausgangspunkt
bilden die L Schätzwerte der AKF Rxx für l =0: L -1 . Die symmetrisch fortgesetzten Werte
der AKF für l =- L +1:-1 werden zeitlich gespiegelt angehängt. Das Zero-padding geschieht
durch Einfügen von Nullen.
Man beachte auch, das LDS eines reellen Prozesses ist stets rein reell und nicht negativ da es
die mittlere Leistung in jedem Frequenzteilband wiedergibt. Damit lässt sich die Güte des
Messergebnisses beurteilen. Gegebenenfalls sind, wo vertretbar, kleine Abweichungen zu kor-
rigieren.

Programmbeispiel 14-1 Berechnung des LDS aus den Schätzwerten der AKF
% compute pds from acf estimates Rxx with zero-padding to length 1024
L = length(Rxx]);
Sxx = fft([Rxx zeros(1,1024-(2*L-1)) Rxx(L:-1:2)]);

Anmerkung: Man nennt diese Art der Schätzung auch nichtparametrische Spektralschätzung. Alternativ
können mit parametrischen Schätzverfahren die Parameter, z. B. Pole und Nullstellen, eines Modell-
prozesses bestimmt werden [KaKr06], [Wer08a].
Schätzwerte für das LDS können mit der FFT auch direkt aus den Musterfolgen bestimmt wer-
den. Ein wegen seiner Einfachheit oft verwendetes Verfahren beruht auf dem Periodogramm
[OSB99]. Dabei wird das LDS durch die Betragsquadrate der DFT-Koeffizienten eines Signal-
blockes geschätzt.