Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
F
H e
:
j
(8.19)
hn
[]
l
Im Weiteren wird, falls nicht anders erwähnt, von
kausalen Systemen
ausgegangen. Das sind
Systeme deren Reaktion erst mit oder nach der Erregung eintritt. Für diese ist die Impulsant-
wort eine rechtsseitige Folge, also
h
[
n
] = 0 für
n
< 0.
Ferner wird angenommen, dass die Systeme auf Eingangssignale mit beschränkten Amplituden
mit Ausgangssignalen mit beschränkten Amplituden antworten. Man spricht dann von der
BIBO-Stabilität
(Bounded Input Bounded Output).
8.4.2
Lineare Differenzengleichung und
z
-Transformation
Häufig können die Systeme in der digitalen Signalverarbeitung durch lineare
Differenzen-
gleichungen
mit konstanten Koeffizienten (DGL) beschrieben werden.
N
M
a ynk
[
]
b xnm
[
]
¦
¦
(8.20)
k
m
k
0
m
0
Damit ist insbesondere die Realisierbarkeit der Systeme durch Hard- oder Software prinzipiell
sichergestellt, vgl. Blockdiagramm in Direktform I in Bild 8-5.
Zur effektiven Lösung der DGL stellt die Mathematik die
z-Transformation
für Signale zur
Verfügung.
f
n
X z
()
x n
[]
z
¦
(8.21)
n
f
Anmerkung:
Die
z
-Transformation ist eng mit der Fourier-Transformation für Folgen verwandt, wie ein
Blick in Tabelle 8-1 zeigt. Für zeitkontinuierliche Funktionen gelten entsprechende Zusammenhänge zwi-
schen den linearen Differentialgleichungen und der Laplace-Transformation.
Durch
z
-Transformation leitet sich aus der Differenzengleichung (8.20) die
Eingangs-
Ausgangsgleichung
im Bildbereich ab.
Yz
()
Hz Xz
()
()
(8.22)
Darin ist
H
(
z
) die
Übertragungsfunktion
des Systems eine rationale Funktion
M
M
1
l
bz
1
zz
¦
l
0
l
b
a
Zz
()
l
N
0
0
l
N
1
Hz
()
(8.23)
Nz
()
k
1
az
0
1
zz
¦
k
f
k
k
0
k
1
mit den
Zählerkoeffizienten
b
l
und den
Nennerkoeffizienten
a
k
. Das Zähler- und Nenner-
polynom kann auch in Produktform mit den
Nullstellen
z
0 l
und
Polen
z
f
k
geschrieben werden.
Das Übertragungsverhalten der Systeme wird durch die Pole und Nullstellen bis auf eine multi-
plikative Konstante vollständig charakterisiert. In den beiden folgenden Versuchen wird des-
halb der Einfluss der Pole und Nullstellen genauer betrachtet.
