Digital Signal Processing Reference
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Für die Berechnung der Ausgangssignale ist wichtig, dass die Signale der digitalen Signalver-
arbeitung in natürlicher Weise als Überlagerung gewichteter und zeitlich verschobener Impuls-
folgen aufgefasst werden können. Interpretiert man das Eingangssignal dementsprechend und
setzt die Linearität des Systems voraus, d. h. die Anwendbarkeit des Superpositionsprinzips,
dann resultieren die Signale am Systemausgang als Überlagerung ebenso gewichteter und ver-
zögerter Wiederholungen der Impulsantwort. Für die
Eingangs-Ausgangsgleichung
zeit-
diskreter LTI-Systeme ergibt sich im Zeitbereich die
Faltung
der Eingangsfolge mit der
Impulsantwort.
Im Beispiel einer rechtsseitigen Eingangsfolge und einer rechtsseitigen Impulsantwort eines
kausalen Systems erhält man
y
[0]
x
[0]
h
[0]
y
[1]
x
[ 0 ]
h
[1]
x
[1]
h
[ 0 ]
y
[2]
x
[0]
h
[2]
x
[1]
h
[1]
x
[2]
h
[0]
(8.16)
#
n
¦
yn
[]
xl hn l
[] [
]
xn
[]*[]
hn
l
0
Es resultiert die Faltung in (8.1) wenn berücksichtigt wird, dass nur rechtsseitige Signale vor-
liegen.
Die zweite wichtige Art der Systemreaktion ist die Antwort auf komplex exponentielle
Eingangssignale. Dahinter verbirgt ist das Konzept der
Eigenfunktion
. Also, dass sich am
Systemausgang bis auf einen multiplikativen Faktor das Signal am Systemeingang ergibt
[Wer08b]. Die komplex Exponentiellen sind Eigenfunktionen von LTI-Systemen. Wird ein
LTI-System mit einer komplex Exponentiellen beliebiger Frequenz erregt, reagiert das LTI-
System mit
j
::
j
n
j
:
n
yn
[]
H e
0
e
0
mit
xn
[]
e
0
(8.17)
Anmerkung:
LTI-Systeme weisen am Ausgang nur Frequenzanteile auf, die auch am Systemeingang
eingespeist wurden, siehe Linearität.
Obige Überlegungen hängen nicht vom Wert der normierten Kreisfrequenz ab. Es gilt daher
allgemein: Liegt für das Einganssignal eine harmonische Zerlegung in Frequenzkomponenten
durch die Fourier-Transformation vor, so kann das Ausgangssignal im Frequenzbereich einfach
bestimmt werden
j
:
j
:
j
:
Ye
He
Xe
(8.18)
mit dem
Frequenzgang
des Systems
He
:
j
.
Da sowohl die Impulsantwort als auch der Frequenzgang die Systemreaktion eindeutig be-
schreiben, müssen beide in engem Zusammenhang stehen. Tatsächlich bilden die Impulsant-
wort und der Frequenzgang ein Fourier-Paar und können, die Stabilität des Systems voraus-
gesetzt, durch Fourier-Transformation ineinander umgerechnet werden.
