“Ellipsoid-of-Revolution to Cylinder”: Oblique Aspect - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 413

d α = A 1 √ 1 − E 2 cos 2 α, s 2 ( α ):= 1

s 1 ( α ):= d s

d α 2 = 1

d 2 s A 1 E 2 sin α cos α

√ 1

E 2 cos 2 α .

(16.33)

2! 2

−

End of Corollary.

Proof.

1
A 1

E :

,A 2

A 1 1 d s = d x 2 +d y 2 = A 1 √ 1 E 2 sin 2 α ∗ d α ∗

− E 2 cos 2 α d α = − −

⇒

s ( α )= A 1 α
0

√ 1

E 2 cos 2 α d α = − (16.34)

A 1 α ∗
π/ 2

E 2 sin 2 α ∗ d α ∗ = A 1 π/ 2
α ∗

1 1

E 2 sin 2 α ∗ d α ∗ = = − − −

= A 1 π/ 2
0

1 − E 2 sin 2 α ∗ d α ∗ − A 1 α ∗
0

1 − E 2 sin 2 α ∗ d α ∗ =

E 2 sin 2 i
1 − E 2 cos 2 i .

= A 1 [ E ( π/ 2; E ) − E ( α ∗ ; E )] E 2 =

∀

End of Proof.

Proof.

1 · 1
2

1 · 1 · 3
2

1 · 1 · 3 · 5
2

1
2 x

x ) 1 / 2 =1

4 x 2 6 x 3 8 x 4

(1 − − − − − −··· ∀| x |≤ 1 , (16.35)

· · 4 · · 4 · 6 ·

√ 1

1 1 · 1

2

1 · 1 · 3
2

2 E 2 cos 2 α − 4 E 4 cos 4 α − 6 E 6 cos 6 α −

− E 2 cos 2 α =1 − (16.36)

· · 4 ·

1 · 1 · 3 · 5
2

1 · 1 · 3 · 5 · 7
2 8 E 8 cos 8 α − 10 E 10 cos 10 α − O( E 12 ) ∀E < 1 .

−

· 4 · 6 · · 4 · 6 · 8 ·

These series are uniformly convergent. Accordingly, in the arc length integral, we can interchange
integration and summation and are directly led to ( 16.31 ).

End of Proof.
The proof for ( 16.32 ) is now straightforward. In Corollary 16.3 , the relation of meta-longitude α
to longitude L and latitude B is summarized.

Corollary 16.3 (Cha-cha-cha: meta-longitude α versus longitude L and latitude B ).

Ω )= √ 1 tan( L − − E 2 cos i tan α, (16.37)