Offshore-Windenergie - Einfuhrung in die Windenergietechnik - page 426

Die Geschwindigkeitskomponenten erhält man aus den partiellen Ableitungen des Potenzials
Gl. (11.20) nach den Koordinaten x bzw. z :

( x , z , t ) = @ ©
@x

= g · k
!

· cosh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

· H
2

±

u

· cos( k · x ° ! · t )

(11.25a)

( x , z , t ) = @ ©
@z

= g · k
!

· sinh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

±

w · H · sin( k · x ° ! · t ) (11.25b)

und die Beschleunigungen aus den zweiten Ableitungen nach der Zeit.
Die Bahnkurven der einzelnen Wasserpartikel ergeben sich durch Integration der Geschwin-
digkeiten nach Gl. ( 11.25a) und ( 11.25b) über der Zeit. Sie lauten:

u ( x , z , t ) = H
2

· g · k
! 2

· cosh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

· sin( k · x ° ! · t ) (11.26a)

w ( x , z , t ) = H
2

· g · k
! 2

· sinh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

· cos( k · x ° ! · t ) (11.26b)

Die Bahnkurven bilden im tiefemWasser ( d !1 ) Kreise und im flacheren Wasser ( d <º L /2)
Ellipsen mit den Halbachsen:

H
2

· g · k
! 2

· cosh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

(in x -Richtung) (11.27a)

H
2

· g · k
! 2

· sinh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

(in z -Richtung) (11.27b)

Die Radien der Halbachsen nehmen mit zunehmender Wassertiefe z entsprechend den Hy-
perbelfunktionen ab, die Halbachse in z -Richtung wird am Meeresboden zu null, sodass sich
die Wasserpartikel in einer Welle dort nur noch horizontal hin und her bewegen (Randbedin-
gung).
Damit werden aus den Gl. (11.25) bis (11.27) für die Bahnkurven, Geschwindigkeiten und Be-
schleunigungen mit cosh( Æ · x ) = (e Æ · x + e ° Æ · x )/2 und sinh( Æ · x ) = (e Æ · x ° e ° Æ · x )/2:

u ( x , z , t ) =° H /2 · e k · z · k · sin( k · x ° ! · t )

(11.28a)

w ( x , z , t ) =° H /2 · e k · z · k · cos( k · x ° ! · t ) (11.28b)

±

( x , z , t ) =° H /2 · ! · e k · z k · cos( k · x ° ! · t ) u (11.29a)

±

( x , z , t ) = H /2 · ! · e k · z · k · sin( k · x ° ! · t ) w (11.29b)

±±

( x , z , t ) = H /2 · ! 2 · e k · z k · sin( k · x ° ! · t ) u (11.30a)

±±

( x , z , t ) =° H /2 · ! 2 · e k · z · k · cos( k · x ° ! · t ) w (11.30b)

Die Abhängigkeit der Wellen von der Wassertiefe sind in den Gl. (11.21) bis ( 11.30a) enthalten.
Für tiefes Wasser mit d !1 wird aus der Gl. ( 11.21) :

! 2 = g · k (11.31)

In der Praxis nimmt man tiefes Wasser an, wenn gilt: d < L /2