Offshore-Windenergie - Einfuhrung in die Windenergietechnik - page 425

11.3.1.1 Lineare oder Wellentheorie nach Airy
Die bekanntestenNäherungslösungen sind die von Airy, der eine einfache Sinusformder Welle
annimmt und die Gleichungen linearisiert, sowie die nichtlinearen Theorien von Stokes, der
mehrgliedrige Potenzreihen verwendet.
Bei der linearen Wasserwellentheorie nach Airy wird als Wellenform eine Sinus- oder Kosinus-
form plus Phasenverschiebung (je nach gewähltem Koordinatenursprung) für die Wellendar-
stellung angenommen unter den folgenden Voraussetzungen:

Die Wassertiefe d ist größer als die halbe Wellenlänge L (tiefes Wasser).

Á

Die Wellenhöhe H ist klein gegenüber der Wellenlänge (geringe Wellensteilheit).

Á

Die Wasseroberfläche ist ungestört.
Trotz dieser Einschränkungen gegenüber den tatsächlich auftretenden Wellen, die mit nicht-
linearen Theorien genauer beschrieben werden, können mit der Airy'schen Theorie die wich-
tigsten Welleneffekte näherungsweise gut dargestellt werden.
Der Airy'sche Ansatz für den Verlauf der Wellenhöhe lautet:

Á

µ µ ∂∂

h ( x , t ) = H
2

x
L

° t
T

= H
2

· cos 2 · º · · cos ( k · x ° ! · t ) (11.19)

Durch die o. g. Voraussetzungen werden die nichtlinearen Terme in den Gl. (11.17) und ( 11.18)
von kleinerer Größenordnung als die linearen und können deshalb vernachlässigt werden. Au-
ßerdem kannman dadurch in den Randbedingungen Gl. ( 11.17) und (11.18) die lokale Wellen-
erhebung h ( x , t ) durch den konstanten Wert h = 0 ersetzen.
Mit diesen Vereinfachungenwird eine analytische Lösung der Gl. ( 11.15a) mit demAnsatz nach
Gl. (11.19) möglich und man erhält für das Geschwindigkeitspotenzial ©:

©( x , z , t ) = H
2

· g
!

· cosh[ k · ( z + d )]
cosh[ k · d ]

· sin( k · x ° ! · t ) = H
2

· g
!

· ¥ ( z ) · sin( k · x ° ! · t ) (11.20)

Der Ausdruck ¥ ( z ) stellt die Tiefenabhängigkeit des Geschwindigkeitspotenzials dar.
Aus der Randbedingung Gl. ( 11.18) erhält man damit die sogenannte Dispersionsgleichung,
die die Beziehungen zwischen Wellenfrequenz ! , Wellenzahl k und Wassertiefe d beschreibt.

! 2 = g · k · tanh( k · d )

(11.21)

Für die Wellenlänge ergibt sich:

µ ∂

L = g · T 2
2 · º

2 · º · d
L

· tanh (11.22)

für die Wellenperiode:

s

2 · º · L
g

1
tanh(2 · º · d / L )

T = · (11.23)

und für die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit:

s

r

µ ∂

c = L
T

= !
k

g · L
2 ·

2 · º · d
L

g
k

= · tanh = · tanh( k · d ) (11.24)

º