Environmental Engineering Reference
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den Beziehungen abschätzen.
E
+
U
=
konstant
=
E
max
=
U
max
(5.33a)
=
!
2
·
E
(
E
=
bezogene kinetische Energie)
E
max
=
U
max
(5.33b)
Rayleigh-Quotient: R. Q.
=
!
2
=
U
max
E
(5.34)
Die bezogene
kin
etische Energie
E
und die potenzielle Energie
U
werden mithilfe einer Nähe-
rungsfunktion
w
(
x
) für d
ie
Durchbiegung eines Balkens unter Berücksichtigung der Randbe-
dingungen beschrieben.
E
und
U
max
erhält man nach:
E
=
1
2
Z
m
(
x
)
·
w
2
(
x
)
·
d
x
(5.35)
(
L
)
Z
=
1
2
E
(
x
)
·
I
(
x
)
·
(
w
00
)
2
(
x
)
·
d
x
U
max
(5.36)
(
L
)
Beispiel:
Kragträger mit konstantem Querschnitt (
m
(
x
)
=
m
und
I
(
x
)
=
I
)
Die Randbedingungen eines bei
x
=
0 eingespannten Kragträgers lauten: Durchbiegung bei
x
=
0
!
w
(0)
=
0; Neigung bei
x
=
0
!
w
0
00
(0)
=
0; Biegemoment bei
x
=
L
!
w
(
L
)
=
0; Quer-
000
kraft bei
x
=
L
!
w
(
L
)
=
0
Für die Durchbiegung kann folgende Näherung angesetzt werden (Biegelinie Kragträger):
∑
∏
≥
¥
2
6
°
4
·
x
L
x
L
w
(
x
)
=
x
2
·
+
Für die erste Eigenfrequenz mit
I
und
E
= konstant erhält man mit dem R. Q.:
R
(
L
)
E
(
x
)
·
I
(
x
)
·
(
w
00
)
2
·
d
x
R. Q.
=
!
2
=
(5.37)
R
(
I
)
m
(
x
)
·
w
2
(
x
)
·
d
x
s
162
·
E
·
I
13
·
m
·
L
4
[s
°
1
]
!
!
1
=
(5.38)
Á
Grundsätzlich gilt, dass die durch Näherungsverfahren ermittelten Frequenzen größer sind
als die tatsächlichen, da Näherungsansätze die Systeme steifer machen. Die kleinste Eigen-
frequenz, die sich mit unterschiedlichen Näherungsansätzen für die Schwingungsform bzw.
Eigenform ergibt, liegt am nächsten zu dem tatsächlichen Wert. Wird als Näherungsansatz die
exakte Eigenform gewählt, erhält man auch die exakte Eigenfrequenz.
Die absolute Größe der Schwingungsdurchbiegung bzw. -amplitude bleibt unbestimmt (Kenn-
zeichen homogener Gleichungen), z. B. im Rayleigh-Quotienten kürzen sich die Amplituden
heraus.
Durch die Material- und konstruktiven Dämpfungen in einem Rotorblatt von maximal ca.
§
º
0,1 werden die Schwingungsfrequenzen um ca. 1,5% reduziert, dieser Effekt kann also
vernachlässigt werden. Das lässt sich nach der Beziehung der Frequenzen für einen linearen
p
1
°
D
2
!
d
=
!
0
·
(5.39)
