Environmental Engineering Reference
In-Depth Information
oder in Komponentenschreibweise
1
æ
x
=
·
(
E
x
·
"
x
+
∫
yx
·
E
y
·
"
y
)
1
°
∫
xy
·
∫
yx
1
1
°
∫
xy
æ
y
=
·
(
E
y
·
"
y
+
∫
xy
·
E
x
·
"
x
)
·
∫
yx
ø
xy
=
ø
yx
=
G
xy
∞
xy
=
G
yx
∞
yx
(5.13b)
mit:
∫
xy
=
∫
yx
·
E
y
/
E
x
;
∫
yx
=
∫
xy
·
E
x
/
E
y
.
Die Umkehrung dieser Beziehungen, d. h. die Ermittlung der Deformationen aus den Span-
nungen, lautet:
2
4
3
5
·
°
∫
xy
E
y
1
E
x
0
2
4
3
5
2
4
3
5
"
x
"
y
∞
xy
æ
x
æ
y
ø
xy
°
∫
yx
E
x
1
E
y
0
=
)
"
=
N
·
æ
(5.14a)
1
G
xy
0
0
oder in Komponentenschreibweise
·
æ
y
E
y
=
æ
x
E
x
"
x
°
∫
xy
=
æ
y
E
y
·
æ
x
E
x
"
y
°
∫
yx
∞
xy
=
ø
xy
G
xy
=
∞
yx
(5.14b)
mit: Normalspannungen
æ
x
in
x
-Richtung und
æ
y
in
y
-Richtung; Schubspannungen
ø
xy
in
der
x
-
y
-Ebene; Dehnungen
"
x
in
x
-Richtung und
"
y
in
y
-Richtung; Schubwinkel
∞
xy
in der
x
-
y
-Ebene; E-Modul
E
x
in
x
-Richtung und
E
y
in
y
-Richtung; Schubmodul
G
xy
in der
x
-
y
-
Ebene; Querkontraktionszahlen
∫
xy
(Querkontraktion in
x
-Richtung durch eine Normalspan-
nung in
y
-Richtung) und
∫
yx
(Querkontraktion in
y
-Richtung infolge einer Normalspannung
in
x
-Richtung
2
æ
ist der Spannungsvektor,
"
der Deformationsvektor,
S
die Steifigkeitsmatrix und
N
die Nach-
giebigkeitsmatrix. Die Steifigkeitsmatrix ist die Inverse der Nachgiebigkeitsmatrix und umge-
kehrt, d. h.
D
·
N
=
E
(
E
=
Einheitsmatrix).
Man kann daraus u. a. erkennen, dass die Gleichungen für isotropes Material (in allen Rich-
tungen gleiche Materialeigenschaften) einen Sonderfall der Beziehungen für orthotrope Ma-
terialien darstellen.
Die jeweiligen Ingenieurskonstanten
E
x
(Elastizitätsmodul in
x
-Richtung),
E
y
(E-Modul in
y
-
Richtung),
G
yz
(Schubmodul),
∫
yx
(Querkontraktion in
x
-Richtung) und
∫
xy
(Querkontrak-
tion in
x
-Richtung) können für Faserverbundwerkstoffe rechnerisch ermittelt werden (siehe
unten). Sie müssen aber für Festigkeitsnachweise i. A. experimentell ermittelt werden, da die
tatsächlichen Werte aufgrund von Fertigungsbedingungen, Gewebearten der Verstärkungsfa-
sern usw. deutlich von den rechnerisch bestimmten abweichen können.
2
In der englischsprachigen Literatur ist die Indizierung meistens umgekehrt.
