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Der Fall der Erosion lässt sich auf den Fall der Dilatation zurückführen. Wir definie-
ren den Operator
D
durch
Du
und bemerken, dass er die charakterisierenden
Eigenschaften einer Dilatation hat. Deshalb können wir nach dem ersten Teil der Be-
hauptung schließen, dass es sich bei
=
E
(
u
)
D
um eine Dilatation handelt:
D
(
u
)=
u
⊕
B
.
D
Das Strukturelement ist gegeben durch
B
=
(
χ
{
0
}
(
−·
)) =
E
(
χ
{
0
}
(
−·
)) =
E
(
χ
R
d
}
(
−·
))
. Es folgt
\{
0
D
E
(
u
)=
(
u
)=(
u
⊕
B
)=
u
B
.
Eine weitere Eigenschaft von Erosion und Dilatation, die sie für die Bildverarbeitung
interessant macht, ist ihre
Kontrastinvarianz
.
Satz 3.31
Es sei B
R
d
nichtleer. Erosion und Dilatation mit Strukturelement B sind invariant gegen-
über Kontraständerung, das heißt für jede stetige und monoton wachsende Grauwerttransfor-
mation
⊂
R
d
→
∈B
(
)
Φ
:
R
R
und jedes u
gilt
Φ(
)
= Φ(
)
Φ(
)
⊕
= Φ(
⊕
)
u
B
u
B
und
u
B
u
B
.
Beweis.
Die Aussage folgt direkt daraus, dass stetige, monoton wachsende Funktionen
mit Supremum und Infimum vertauschen; exemplarisch für die Dilatation:
Φ(
)
⊕
(
)=
∈B
Φ(
(
+
)) = Φ(
(
+
)) = Φ(
⊕
(
))
u
B
x
sup
y
u
x
y
sup
y
u
x
y
u
B
x
.
∈B
3.4.2 Zusammengesetzte Operationen
Erosion und Dilatation lassen sich kombinieren, um bestimmte Effekte zu erzielen. Dies
haben wir auch schon im einleitenden Beispiel 3.25 gesehen: Durch eine Erosion ge-
folgt von einer Dilatation konnten kleine Störungen entfernt werden. Bei der Erosion
von Binärbildern werden alle Objekte entfernt, die „kleiner“ als das Strukturelement
B
sind (im Sinne der Mengeninklusion). Das erodierte Bild enthält nur noch die größeren
Strukturen, allerdings um
B
„geschrumpft“. Eine anschließende Dilatation mit
−
B
hat
dann die Auswirkung, dass das Objekt wieder passend vergrößert wird.
Andersherum füllt die Dilatation „Löcher“ im Objekt auf, die kleiner als
B
sind.
Das Resultat ist aber um
B
zu groß, was man analog mit einer anschließenden Erosion
mit
B
korrigieren kann. Auf diese Weise kann man Löcher kleiner als
B
„schließen“.
In der Tat entsprechen die vorgestellten Vorgehensweisen wohlbekannten Verfahren in
der Morphologie.
−
Definition 3.32
(Öffnen und Schließen)
Sei
B
R
d
R
d
⊂
ein nichtleeres Strukturelement und
u
∈B
(
)
ein Bild. Bezeichne mit
y
y
−
=
{−
∈
}
B
B
. Die Operation
◦
=(
)
⊕
(
−
)
u
B
u
B
B
