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heißt
Öffnen
(oder Opening), die Abbildung
•
=(
⊕
)
(
−
)
u
B
u
B
B
wird
Schließen
(oder Closing) genannt.
Die Operatoren erben viele Eigenschaften von den Grundoperatoren, im Gegensatz
zur Erosion und Dilatation ist es aber wenig sinnvoll, sie zu iterieren.
Satz 3.33
Seien B ein nichtleeres Strukturelement, u
,
v
R
d
R
d
. Dann gelten folgende
∈B
(
)
∈
Bilder und y
Eigenschaften:
Verschiebungsinvarianz
(
T
y
u
)
◦
B
=
T
y
(
u
◦
B
)
(
)
•
=
(
•
)
T
y
u
B
T
y
u
B
Dualität
−
(
u
•
B
)=(
−
u
)
◦
B
Monotonie
u
◦
≤
◦
B
v
B
u
≤
v
⇒
v
•
B
≤
v
•
B
Antiextensionalität und Extensionalität
u
◦
B
≤
u
,
u
≤
u
•
B
Idempotenz
(
u
◦
B
)
◦
B
=
u
◦
B
(
•
)
•
=
•
u
B
B
u
B
.
Beweis.
Die Verschiebungsinvarianz, Dualität und Monotonie folgen direkt aus den Ei-
genschaften von Dilatation und Erosion in Satz 3.29. Für die Antiextensionalität des
Öffnens nehmen wir an, dass das Gegenteil gälte, d.h. für ein
x
gälte
(
u
◦
B
)(
x
)=
((
u
B
)
⊕
(
−
B
))(
x
)
>
u
(
x
)
. Dann gäbe es ein
z
∈
B
, so dass
(
+
−
)
>
(
)
inf
y
u
x
y
z
u
x
.
∈
B
Es folgte, dass für alle
y
∈
B
gälte, dass
u
(
x
+
y
−
z
)
>
u
(
x
)
was offensichtlich für
y
=
z
falsch ist. Wir haben einen Widerspruch und also gilt
◦
≤
•
≥
u
B
u
. Analog sieht man
u
B
u
.
