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Um die Idempotenz des Öffnens zu zeigen, bemerken wir, dass auf Grund der An-
tiextensionalität des Öffnens gilt
(
◦
)
◦
≤
◦
u
B
B
u
B
.
Andererseits folgt aus der Monotonie der Erosion und der Extensionalität des Schlie-
ßens
(
u
◦
B
)
B
=((
u
B
)
⊕
(
−
B
))
B
=(
u
B
)
•
(
−
B
)
≥
u
B
.
Auf Grund der Monotonie der Dilatation folgt
(
◦
)
◦
=((
◦
)
)
⊕
(
−
)
≥
(
)
⊕
(
−
)=
◦
u
B
B
u
B
B
B
u
B
B
u
B
was
(
u
◦
B
)
◦
B
=
u
◦
B
zeigt. Für die Idempotenz des Schließens argumentiere m
an
analog.
Eine weitere häufig benutzte Kombination der grundlegenden morphologischen
Operatoren ist der Hit-or-miss Operator. Während die Erosion gewissermaßen die Ant-
wort auf die Frage „Passt
B
in das Objekt?“ gibt, beantwortet der Hit-or-miss Operator
die Frage „Passt
B genau
in das Objekt?“. Mathematisch lässt sich das durch die Ein-
führung einer Miss-Maske
C
⊂
B
präzisieren, die den Bereich beschreibt, an dem das
Objekt nicht passen soll (
B
wird in diesem Zusammenhang Hit-Maske genannt).
Definition 3.34
Seien
B
,
C
R
d
nichtleere, disjunkte Teilmengen. Dann ist der
Hit-or-miss Operator
eines
Binärbildes
u
∈
R
d
definiert durch
⊂
)
∩
(
C
.
u
(
B
,
C
)=(
u
B
u
)
Bemerkung 3.35
Die Definition lässt sich auch auf Graustufenbilder verallgemeinern, wenn man eine
sinnvolle Komplementbildung einführt. Nimmt man an, dass der gesamte Grauwert-
bereich durch
[
0, 1
]
gegeben ist, kann man zum Beispiel definieren,
)
(
C
(
)=(
−
)
u
B
,
C
u
B
1
u
wobei die punktweise Multiplikation die Schnittmengenbildung realisiert. Dieser Aus-
druck ist für Binärbilder
u
R
d
äquivalent zur Definition 3.34.
⊂
Als letzte verbreitete Klasse von morphologischen Filtern gehen wir auf die
Top-hat
Operatoren ein, deren Ziel es ist, Informationen aus dem Bild bzw. Objekt zu extrahie-
ren, die kleiner als das Strukturelement sind.
