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Die Dilatation und die Erosion haben eine weitere grundlegende Eigenschaft: Unter
allen Operationen auf binären Bildern sind sie die einzigen, die verschiebungsinvariant
sind und die Distributivität aus Satz 3.29 erfüllen. Das heißt, Dilatation und Erosion
sind durch diese Eigenschaften charakterisiert, wie der folgende Satz zeigt.
Satz 3.30
Es sei D ein verschiebungsinvarianter Operator auf binären Bildern mit D
(
0
)=
0
und es gelte
für jede Menge von binären Bildern u
i
R
d
⊂
u
i
u
i
D
(
)=
D
(
)
.
i
i
R
d
, so dass
⊂
Dann existiert eine Menge B
(
)=
⊕
D
u
u
B
.
Ist E verschiebungsinvariant mit E
(
χ
R
d
)=
χ
R
d
und gilt
u
i
u
i
(
)=
(
)
E
E
i
i
R
d
, so dass
so existiert B
⊂
(
)=
E
u
u
B
.
Beweis.
Da
D
translationsinvariant ist, werden translationsinvariante Bilder wieder auf
translationsinvariante Bilder abgebildet. Da 0 und
χ
R
d
die einzigen translationsinvari-
anten Bilder sind, muss entweder
D
)=
χ
R
d
gelten. Der zweite Fall, in
welchem
D
keine Dilatation wäre, ist per Definition ausgeschlossen.
Da wir jedes Binärbild
u
(
0
)=
0 oder
D
(
0
R
d
als Vereinigung seiner Elemente
⊂
χ
{y}
schreiben kön-
nen, gilt
Du
=
D
(
∈u
χ
{y}
)=
D
χ
{y}
.
y
y
∈u
χ
{y}
=
χ
{
0
}
(
·−
)
Da
D
translationsinvariant ist, gilt
D
D
y
und es folgt
1
∃
(
)=
χ
{
0
}
(
−
)=
falls gilt
y
:
u
y
1 und
D
x
y
1
(
)=
∈u
(
χ
{
0
}
)(
−
)=
Du
x
D
x
y
0
sonst.
y
Andererseits ist
1
∃
(
)=
(
+
)=
falls gilt
y
:
B
y
1
und
u
x
y
1
(
⊕
)(
)=
u
B
x
0
sonst
und wir sehen
=
⊕
χ
{
0
}
(
−·
)
Du
u
D
,
das heißt, die Operation
D
entspricht der Dilatation von
u
mit dem Strukturelement
B
R
d
−
=
χ
{
0
}
(
−·
)=
{
∈
∈
χ
{
0
}
}
D
y
y
D
.
