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Definition 3.28
(Erosion und Dilatation von Grauwertbildern)
Sei
B
R
d
R
d
⊂
eine nichtleere Teilmenge und
u
∈B
(
)
. Die
Dilatation
von
u
mit dem
Strukturelement B
ist definiert durch
(
u
⊕
B
)(
x
)=
sup
y
u
(
x
+
y
)
.
∈B
Die
Erosion
von
u
mit dem Strukturelement
B
ist definiert durch
(
u
B
)(
x
)=
inf
y
u
(
x
+
y
)
.
∈B
Erosion und Dilatation haben eine Reihe grundlegender nützlicher Eigenschaften.
Satz 3.29
Seien u
,
v
R
d
R
d
nichtleere Strukturelemente und y
R
d
.
∈B
(
)
,B
,
C
⊂
∈
Dann gelten folgende Eigenschaften:
Dualität
−
(
⊕
)=(
−
)
u
B
u
B
Verschiebungsinvarianz
(
T
y
u
)
B
=
T
y
(
u
B
)
(
)
⊕
=
(
⊕
)
T
y
u
B
T
y
u
B
Monotonie
u
B
≤
v
B
u
≤
v
⇒
u
⊕
B
≤
v
⊕
B
Distributivität
(
∧
)
=(
)
∧
(
)
u
v
B
u
B
v
B
(
u
∨
v
)
⊕
B
=(
u
⊕
B
)
∨
(
v
⊕
B
)
R
d
x
Komposition
Mit B
+
C
=
{
x
+
y
∈
∈
B
,
y
∈
C
}
gilt
(
)
=
(
+
)
u
B
C
u
B
C
(
u
⊕
B
)
⊕
C
=
u
⊕
(
B
+
C
)
.
Beweis.
Die Beweise dieser Tatsachen beruhen im Wesentlichen auf den entsprechenden
Eigenschaften von Supremum und Infimum. Zum Beispiel sieht man die Dualität wie
folgt:
−
(
u
⊕
B
)(
x
)=
−
sup
y
u
(
x
+
y
)=
inf
y
∈B
−
u
(
x
+
y
)=((
−
u
)
B
)(
x
)
.
∈
B
Die weiteren Beweise eignen sich hervorragend zum Üben der Begriffe.
