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u
u
B
u
⊕
B
u
Abbildung 3.13.
Illustration von Dilatation (links) und Erosion (rechts) eines Objektes (gestrichelte Linie) mit
einer Kreisscheibe.
Die
Erosion
von
u
mit dem Strukturelement
B
ist definiert durch
1
falls für alle
y
∈
B
gilt
u
(
x
+
y
)=
1
(
u
B
)(
x
)=
0
sonst.
Interpretiert man nun
B
als eine Form, gibt die Erosion eines Objekts
u
Antwort auf
die Frage „Welche Verschiebungen von
B
passen in das Objekt
u
“? Analog kann man die
Dilatation von
u
als die Antwort auf die Frage „Welche Verschiebungen von
B
treffen
das Objekt
u
?“ verstehen. Abbildung 3.13 zeigt ein veranschaulichendes Beispiel dieser
Operationen.
Erosion und Dilatation lassen sich in natürlicher Weise auf Grauwertbilder ausdeh-
nen. Den Schlüssel hierzu liefert das folgende einfache Lemma:
Lemma 3.27
Es sei u
:
R
d
R
d
nichtleer. Dann gilt
→{
0, 1
}
und B
⊂
(
u
⊕
B
)(
x
)=
sup
y
u
(
x
+
y
)
,
(
u
B
)(
x
)=
inf
y
u
(
x
+
y
)
.
(3.5)
∈
B
∈B
Beweis.
Der Beweis besteht einfach aus dem genaueren Betrachten der Definition. Zum
Beispiel für die Dilatation: Es ist sup
y∈B
u
(
x
+
y
)=
1 genau dann, wenn
u
(
x
+
y
)=
1 für
∈
(
+
)=
(
+
)=
ein
y
B
gilt. Für die Erosion: Es ist inf
y
∈
B
u
x
y
1 genau dann, wenn
u
x
y
1
für alle
y
∈
B
gilt.
Die Formulierung von Erosion und Dilatation aus diesem Lemma benutzt die Tat-
sache, dass
u
nur die Werte 0 und 1 annimmt nicht. Wir können daher die Formeln
analog für reellwertige Funktionen
u
übernehmen. Um im Folgenden die Werte
(
x
)
±
∞
in
Supremum und Infimum zu vermeiden, setzen wir voraus, dass
u
beschränkt ist. Wir
arbeiten also im Vektorraum der beschränkten Funktionen:
R
u
beschränkt
R
d
u
:
R
d
B
(
)=
{
→
}
.