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u
u
B
u
B
u
Abbildung 3.13. Illustration von Dilatation (links) und Erosion (rechts) eines Objektes (gestrichelte Linie) mit
einer Kreisscheibe.
Die Erosion von u mit dem Strukturelement B ist definiert durch
1
falls für alle y
B gilt u
(
x
+
y
)=
1
(
u
B
)(
x
)=
0
sonst.
Interpretiert man nun B als eine Form, gibt die Erosion eines Objekts u Antwort auf
die Frage „Welche Verschiebungen von B passen in das Objekt u “? Analog kann man die
Dilatation von u als die Antwort auf die Frage „Welche Verschiebungen von B treffen
das Objekt u ?“ verstehen. Abbildung 3.13 zeigt ein veranschaulichendes Beispiel dieser
Operationen.
Erosion und Dilatation lassen sich in natürlicher Weise auf Grauwertbilder ausdeh-
nen. Den Schlüssel hierzu liefert das folgende einfache Lemma:
Lemma 3.27
Es sei u : R d
R d nichtleer. Dann gilt
→{
0, 1
}
und B
(
u
B
)(
x
)=
sup
y
u
(
x
+
y
)
,
(
u
B
)(
x
)=
inf
y
u
(
x
+
y
)
.
(3.5)
B
∈B
Beweis. Der Beweis besteht einfach aus dem genaueren Betrachten der Definition. Zum
Beispiel für die Dilatation: Es ist sup y∈B u
(
x
+
y
)=
1 genau dann, wenn u
(
x
+
y
)=
1 für
(
+
)=
(
+
)=
ein y
B gilt. Für die Erosion: Es ist inf y B u
x
y
1 genau dann, wenn u
x
y
1
für alle y
B gilt.
Die Formulierung von Erosion und Dilatation aus diesem Lemma benutzt die Tat-
sache, dass u
nur die Werte 0 und 1 annimmt nicht. Wir können daher die Formeln
analog für reellwertige Funktionen u übernehmen. Um im Folgenden die Werte
(
x
)
±
in
Supremum und Infimum zu vermeiden, setzen wir voraus, dass u beschränkt ist. Wir
arbeiten also im Vektorraum der beschränkten Funktionen:
R u beschränkt
R d
u : R d
B (
)= {
}
.
 
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