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3.4 Morphologische Filter
Morphologische Filter sind die Hauptwerkzeuge der sogenannten
mathematischen Mor-
phologie
, also der Theorie der Analyse räumlicher Strukturen in Bildern (der Name ist
abgeleitet vom griechischen Wort „morphe“ = Gestalt). Die mathematische Theorie der
morphologischen Filter geht auf die Ingenieure Georges Matheron und Jean Serra zu-
rück, siehe dazu auch [133]. Morphologische Methoden zielen vor allem auf die Erken-
nung und Veränderung der Form von Objekten ab. Wir betrachten wieder ein einleiten-
des Beispiel:
Beispiel 3.25
(Entrauschen von Objekten)
Nehmen wir zunächst einmal an, wir hätten in einem diskreten digitalen Bild ein Ob-
jekt gefunden, zum Beispiel durch eine geeignete Segmentierungsmethode. Für die
mathematische Beschreibung des Objekts ist die Kodierung als Binärbild naheliegend,
d.h. durch eine binäre Funktion
u
:
R
d
→{
}
0, 1
wobei
u
(
x
)=
1
∼
x
gehört zum Objekt
u
(
x
)=
0
∼
x
gehört nicht zum Objekt.
Weiterhin nehmen wir an, dass das Objekt „gestört“ ist, das heißt, es gibt Störungen in
Form von „kleinen“ Objekten. Da typischerweise „1“ die Farbe Weiß und „0“ die Farbe
Schwarz kodiert, besteht die Form aus dem weißen Teil des Bildes und die Störungen
sind zusätzliche kleine weiße Punkte.
Da wir wissen, dass die Störungen klein sind, definieren wir ein „Strukturelement“
R
d
von dem wir annehmen, dass es gerade so groß ist, dass es jede Störung bede-
cken kann. Um die Störungen zu beheben, berechnen wir ein neues Bild
v
durch
B
⊂
1
∈
(
+
)=
falls für alle
y
B
gilt
u
x
y
1
(
)=
v
x
0
sonst.
Das heißt, es werden nur die Punkte
x
zum neuen Objekt
v
gezählt, für welche das
Strukturelement
B
in
x
verschoben ganz im alten Objekt liegt. Dies eliminiert alle Teil-
objekte, die kleiner als das Strukturelement sind. Allerdings wird auch das Objekt be-
trächtlich verändert: Das Objekt ist „dünner“ als vorher. Wir versuchen, die „Ausdün-
nung“ durch folgende Aktion wieder rückgängig zu machen: Wir berechnen ein weite-
res Bild
w
durch
1
∈
(
+
)=
falls für ein
y
B
gilt
v
x
y
1
(
)=
w
x
0
sonst.
Es wird also jeder Punkt
x
zum neuen Objekt
w
gezählt, wenn das in
x
verschobene
Strukturelement
B
das alte Objekt
v
berührt. Dies führt zu einer Vergrößerung des Ob-
jektes - allerdings werden auch verbliebene Störungen wieder vergrößert. Zusammen-
genommen haben wir unser Ziel relativ gut erreicht: Die Störungen sind weitgehend
beseitigt und das Objekt ist nur wenig verändert, siehe Abbildung 3.12.
