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Laplace-Filter:
Die Bedeutung des Laplace-Operators haben wir in Anwendungsbei-
spiel 3.24 kennen gelernt. Hier müssen wir zweite Ableitungen diskretisieren. Dies
tun wir durch sukzessives Anwenden von Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen-
quotient:
2
u
110
)
0
11
1
21
.
∂
D
x
D
x
x
2
≈
(
U
−
)
+
=(
U
−
−
=
U
−
∂
Den Laplace-Filter erhalten wir also als
⎡
⎤
010
1
D
y
D
y
D
x
D
x
⎣
⎦
.
Δ
u
≈
(
U
−
)
+
+(
U
−
)
+
=
U
41
010
−
Wir betrachten nun den numerischen Aufwand des Filterns bzw. Faltens: Der Auf-
wand zur Berechnung der Faltung mit einer Filtermaske der Größe 2
r
+
1
×
2
s
+
1in
O
((
+
)(
+
))
einem Pixel verhält sich wie
. Da dies für jeden Pixel berechnet wer-
den muss, ist eine bessere Asymptotik erstrebenswert.
2
r
1
2
s
1
R
2
r
+
1
×
2
s
+
1
Separieren von Filtermasken:
Wir nennen eine Filtermaske
H
∈
separier-
R
2
r
+1
,
G
R
2
s
+1
bar
, wenn sie sich aus eindimensionalen Filtermasken
F
∈
∈
wie
folgt erhalten lässt:
G
T
=
∗
F
.
Mit dieser Zerlegung lässt sich das Filtern mit
H
faktorisieren
H
G
T
U
H
=(
U
)
F
und damit reduziert sich der numerischen Aufwand auf
.
Das gleitende Mittel und die Laplace-, Sobel-, Prewitt- und Binomial-Filter sind
separierbar.
O
((
2
r
+
1
)+(
2
s
+
1
))
Rekursives Implementieren:
Das gleitende Mittel lässt sich rekursiv implementieren.
Ist
V
i
M
2
n
+1
1
n
n
k
=(
)
i
=
U
=
−n
U
i
+
k
bekannt, so ist
V
i
+1
=
∑
1
n
V
i
+
(
U
i
+1+
n
−
U
i−n
)
.
Der Aufwand besteht also - unabhängig von der Größe des Filters - aus zwei
Additionen und einer Multiplikation. Rekursive Filter spielen in der Signalver-
arbeitung eine große Rolle, insbesondere bei Echtzeit-Filterung von gemessenen
Signalen. Hier sind nur bereits gemessene Punkte bekannt und der Filter kann nur
auf diese Messwerte zurückgreifen.
Faktorisierung/Ausnutzen von Bitverschiebungen:
Die Binomial-Filter kann man in
kleinere Filter faktorisieren; so ist zum Beispiel
1
16
110
011
110
011
Hierbei besteht jeder Teilfilter aus nur einer Addition. Die Multiplikation mit 1/16
stellt eine Bitverschiebung dar, die schneller umgesetzt werden kann als eine Mul-
tiplikation.
16
14641
1
=
