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u
v
w
Abbildung 3.12.
Entrauschen von Objekten aus Beispiel 3.25.
Die Methoden aus dem einleitenden Beispiel sind die grundlegenden Methoden
der mathematischen Morphologie und werden nun systematisch eingeführt. Äquiva-
lent zur Beschreibung eines Objektes durch eine binäre Funktionen
u
:
R
d
ist
die Beschreibung als Teilmenge im
R
d
. Im Folgenden werden wir nicht zwischen bei-
den Darstellungen unterscheiden und die leicht ungenaue Notation
u
→{
0, 1
}
R
d
benutzt
solange es nicht zu Missverständnissen kommt. Vereinigung und Schnitt von Mengen
entsprechen dem Bilden von Maximum beziehungsweise Minimum von Funktionen:
⊂
(
u
∪
v
)(
x
)=
u
(
x
)
∨
v
(
x
)=
max
(
u
(
x
)
,
v
(
x
))
(
u
∩
v
)(
x
)=
u
(
x
)
∧
v
(
x
)=
min
(
u
(
x
)
,
v
(
x
))
.
Die Schreibweisen
u
v
werden wir im Folgenden auch für Supremum bezie-
hungsweise Infimum benutzen. Die Bildung des Komplements entspricht der Subtrak-
tion von eins:
∨
v
und
u
∧
(
)=
−
(
)
.
Die binären Funktionen bilden mit diesen Operationen eine
Boolesche Algebra
.
u
x
1
u
x
3.4.1 Grundlegende Operationen: Dilatation und Erosion
Die beiden grundlegenden Operationen der mathematischen Morphologie haben wir
schon im einleitenden Beispiel 3.25 kennengelernt. Sie heißen Erosion und Dilatation.
Definition 3.26
Sei
B
R
d
eine nichtleere Teilmenge und
u
R
d
. Die
Dilatation
von
u
mit dem
Struk-
⊂
⊂
turelement B
ist definiert durch
1
falls für ein
y
∈
B
gilt
u
(
x
+
y
)=
1
(
u
⊕
B
)(
x
)=
0
sonst.
