Image Processing Reference
In-Depth Information
folgt die Darstellung
)=
l∈
Z
U
l
H
k
−
l
.
Die Faltung von diskreten Bildern definieren wir also als
(
u
∗
h
)(
k
)
k
=
l
∈
Z
U
l
H
k−l
.
(
∗
U
H
Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen ist klar. Haben wir es mit endli-
chen Bildern und endlichen Faltungskernen zu tun, so erhalten wir endliche Summen
und stoßen auf das Problem, dass wir
U
bzw.
H
an nicht-definierten Stellen auswer-
ten müssen. Dieses Problem lässt sich durch eine Randbehandlung bzw. Randfortset-
zung beheben. Dabei reicht es
U
fortzusetzen. Liegt ein diskretes und endliches Bild
U
:
U
:
Z
{
0, . . . ,
N
−
1
}→
R
vor, so setzen wir dies zu einem Bild
→
R
wie folgt fort:
•
Periodische Fortsetzung: Pflastere
Z
mit Kopien des Originalbildes
U
i
=
U
i
mod
N
Nullfortsetzung: Setze
U
i
=
•
0 für
i
<
0 oder
i
≥
N
.
•
Konstante Fortsetzung: Wiederhole die Grauwerte am Rand, d.h.
max
min
,0
.
U
i
=
(
)=
(
−
)
U
P
N
(
i
)
,
P
N
i
N
1,
i
•
Spiegeln und Periodisieren bzw. symmetrische Fortsetzung: Spiegele das Bild suk-
zessiv an den Kanten, d.h.
U
i
=
(
)=
(
−
−
)
U
Z
N
(
i
mod 2
N
)
,
Z
N
i
min
i
,2
N
1
i
.
Zur Fortsetzung von mehrdimensionalen Bildern werden die Vorschriften separiert pro
Dimension angewendet. Abbildung 3.11 zeigt eine Illustration der verschiedenen Me-
thoden in zwei Dimensionen.
Wir bemerken, dass sowohl die periodische als auch die Null-Fortsetzung unnatür-
liche Sprünge am Rand des Bilder erzeugt. Die konstante und die symmetrische Fort-
setzung produzieren keine zusätzlichen Sprünge.
Im Folgenden betrachten wir zweidimensionale Bilder
U
:
Z
2
→
R
und behandeln
einige klassische Methoden welche zu den ersten Methoden der digitalen Bildverarbei-
tung gehören. In diesem Kontext spricht man meist von Filtermasken im Gegensatz zu
Faltungskernen. Eine
Filtermaske H
R
2
r
+
1
×
2
s
+
1
∈
definiert einen
Filter
durch
r
∑
s
∑
(
U
H
)
i
,
j
=
H
k
,
l
U
i
+
k
,
j
+
l
.
k
=
−r
l
=
−s
