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→
[
μ
(Ω)]
(
)=
<
1.
G
u
:
R
0,
ist monoton wachsend mit G
u
s
0
für s
ess inf
u und
G
u
(
s
)=
μ
(
Ω
)
für s
>
ess sup
u.
G
u
=
2.
H
u
im distributionellen Sinn.
<
Beweis.
Offensichtlich ist
G
u
monoton wachsend. Ist
s
ess inf
u
, so ist die Menge
∈
Ω
u
{
x
(
x
)
≤
s
}
entweder leer, oder eine Nullmenge. In jedem Fall ist ihr Maß Null.
∈
Ω
u
>
{
(
)
≤
}
Ist
s
bis auf höchstens
eine Menge vom Maß 0, also gilt Punkt 1. Für Punkt 2 bemerken wir für
ess sup
u
, so umfasst die Menge
x
x
s
ganz
Ω
φ
=
χ
]
a
,
b
]
die
Identität
1
φ
d
H
u
(
t
)=
G
u
(
b
)
−
G
u
(
a
)=
Ω
φ
◦
u
d
μ
,
0
mit der Definition des Integrals folgt also
1
(
)=
Ω
φ ◦
φ ∈D
(]
[)
φ
d
H
u
t
u
d
μ
für alle
0, 1
.
0
−
φ
für
Testen wir nun mit
φ
∈D
(]
0, 1
[)
, so gilt
1
1
1
)
φ
(
)
φ
(
(
x
)
φ
(
−
G
u
(
t
t
)
d
t
=
−
1d
μ
(
x
t
)
d
t
=
−
t
)
d
t
d
μ
(
x
)
0
0
{u
(
x
)
≤t}
Ω
u
1
Ω
φ
u
)
d
=
(
μ
(
)=
(
)
x
x
φ
d
H
u
t
,
0
was
G
u
=
H
u
im distributionellen Sinn bedeutet.
Mit der Definition 3.7 haben wir unser Histogramm aus Beispiel 3.6 verallgemeinert:
Beispiel 3.9
Wir betrachten einen Maßraum
Ω
der disjunkt in drei Mengen
Ω
1
,
Ω
2
und
Ω
3
zerlegt
Ω
→
[
∞[
sei. Das Bild
u
:
0,
sei gegeben durch
⎧
⎨
∈
Ω
1
s
1
falls
x
u
(
x
)=
∈
Ω
2
s
2
falls
x
⎩
∈
Ω
3
s
3
falls
x
mit 0
<
s
1
<
s
2
<
s
3
, d.h. der Farbraum ist im Wesentlichen diskret. Dann ist die
Verteilungsfunktion
⎧
⎨
0
falls
s
<
s
1
μ
(
Ω
1
)
falls
s
1
≤
s
<
s
2
G
u
(
s
)=
⎩
μ
(
Ω
1
)+
μ
(
Ω
2
)
falls
s
2
≤
s
<
s
3
μ
(
Ω
1
)+
μ
(
Ω
2
)+
μ
(
Ω
3
)=
μ
(
Ω
)
falls
s
3
≤
s
.
Das Histogramm ist also
G
u
=
μ
(Ω
1
)
δ
s
1
+
μ
(Ω
2
)
δ
s
2
+
μ
(Ω
3
)
δ
s
3
=
H
u
wobei
δ
s
i
das Dirac-Maß aus Beispiel 2.38 bezeichnet.
