Image Processing Reference
In-Depth Information
3.2 Das Histogramm
Das Histogramm enthält einige wichtige Eigenschaften des Bildes und ist für einige
einfache Anwendungen sehr hilfreich. Anschaulich gesprochen gibt das Histogramm
an, wie häufig die verschiedenen Grauwerte im Bild vorkommen. Bevor wir das Histo-
gramm für kontinuierliche Bilder einführen, betrachten wir ein einfaches Beispiel.
Beispiel 3.6
(Histogramm eines diskreten Bildes)
Wir betrachten ein diskretes Bild
u
:
Ω
→
F
mit
Ω
=
{
1, . . . ,
N
}×{
1,...,
M
}
und
F
=
{
}
. Das Histogramm
H
u
von
u
gibt an, wie häufig die verschiedenen Grauwerte
im Bild vorkommen:
0, . . . ,
n
)
∈
Ω
u
i
,
j
=
(
)=
{
(
}
H
u
k
#
i
,
j
k
.
Mit Hilfe des Kronecker-Deltas können wir das Histogramm anders darstellen:
N
i
=1
M
j
=1
δ
k
,
u
i
,
j
.
H
u
(
k
)=
Für eine kontinuierliche Trägermenge
Ω
lässt sich das Beispiel einfach verallgemei-
nern, wenn
Ω
mit einem Maß
μ
ausgestattet ist. Man setzt in diesem Fall
H
u
(
k
)=
∈
Ω
u
μ
(
{
(
)=
}
)
.
Für Bilder mit kontinuierlichem Farbraum lässt sich das Beispiel nicht ohne weite-
res anpassen: Ein spezieller Grauwert wird auf einer Teilmenge von
x
x
k
angenommen,
welche durchaus für jeden Grauwert das Maß 0 haben kann. Das heißt, dass das His-
togramm nicht punktweise für jeden Grauwert erklärt werden kann. Vielmehr ist das
Histogramm selbst ein Maß, was wir in folgender Definition präzise machen:
Ω
Definition 3.7
(Histogramm)
Es sei
(
Ω
,
F
,
μ
)
ein Maßraum und
u
:
Ω
→
[
0, 1
]
ein messbares Bild. Dann ist das
Histo-
gramm H
u
von
u
ein Maß auf
[
0, 1
]
, definiert durch
∈
Ω
u
H
u
(
E
)=
μ
(
{
x
(
x
)
∈
E
}
)
.
Sofort sieht man
H
u
([
0, 1
]) =
μ
(
Ω
)
. Mit Hilfe der
Verteilungsfunktion G
u
:
R
→
R
der Grauwerte des Bildes
u
∈
Ω
u
(
)=
μ
(
{
(
)
≤
}
)
G
u
s
x
x
s
bekommen wir eine alternative Darstellung des Histogramms als distributive Ableitung
der Verteilungsfunktion:
Satz 3.8
Es sei
(
Ω
,
F
,
μ
)
ein
σ
-endlicher Maßraum und u
:
Ω
→
[
0, 1
]
ein messbares Bild. Dann gilt für
die Verteilungsfunktion G
u
von u:
