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In-Depth Information
In zwei kleinen Anwendungsbeispielen demonstrieren wir, wozu das Histogramm
eingesetzt werden kann.
Anwendungsbeispiel 3.10
(Kontrastverbesserung durch Histogrammausgleich)
Durch schlechte Aufnahmeumstände oder fehlerhaft eingestellte Optik kann es zu Bil-
dern kommen, die einen niedrigen Kontrast aufweisen. Mit Hilfe des Histogramms
kann man eine sinnvolle Kontrastverbesserung motivieren.
Ein Bild mit viel Kontrast hat üblicherweise Grauwerte im ganzen verfügbaren Be-
reich. Wenn wir annehmen, dass dies zum Beispiel das Intervall
[
0, 1
]
ist, so sorgt eine
lineare Grauwertspreizung
ess inf
u
ess sup
u
s
−
→
s
−
ess inf
u
für eine volle Auffüllung. Dies muss aber nicht ausreichen, um den Kontrast in al-
len Teilen des Bildes ausreichend zu vergrößern. In bestimmten Bereichen kann der
Kontrast noch immer verbesserbar sein. Eine Möglichkeit ist, die Grauwerte möglichst
gleich über den Grauwertbereich zu verteilen. Wir suchen also eine monotone Funktion
Φ
:
R
→
[
0, 1
]
, so dass gilt
H
(]
a
,
b
]) =
|
b
−
a
|
μ
(
Ω
)
.
Φ
◦
u
Mit der Verteilungsfunktion ausgedrückt, lautet dies
(
)=
μ
(Ω)
G
s
s
.
Φ
◦
u
Wenn wir annehmen, dass
Φ
invertierbar ist bekommen wir daraus:
∈
Ω
Φ(
s
μ
(Ω)=
μ
(
{
(
))
≤
}
)
x
u
x
s
∈
Ω
u
)
≤
Φ
−
1
=
μ
(
{
(
(
)
}
)
x
x
s
(Φ
−
1
=
(
))
G
u
s
.
Φ
−
1
G
−
1
(
)=
(
μ
(Ω))
Dies führt zu
s
s
und schließlich zu
u
Φ(
)=
(
)
μ
(Ω)
s
G
u
s
/
.
Die Grauwerttransformation ist also die Verteilungsfunktion selbst.
Ist der Grauwertbereich diskret, also zum Beispiel
u
:
Ω
→{
0, . . . ,
n
}
, so muss
gerundet werden:
round
n
μ
(Ω)
round
n
μ
(Ω)
s
=
0
H
u
(
s
)
.
s
0
Φ(
)=
(
)
=
s
0
G
u
s
0
(3.1)
Natürlich lässt sich diskret kein ausgeglichenes Histogramm erreichen, da gleiche Grau-
werte wieder auf gleiche Grauwerte abgebildet werden. Trotzdem liefert diese Grau-
werttransformation meist gute Ergebnisse, siehe Abbildung 3.3.
