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Mit Hilfe des Dirac-Maßes aus Beispiel 2.38 lässt sich
U
auch als sogenannter Delta-
Kamm
=
∑
U
U
i
δ
x
i
auffassen und damit als Maß auf
Ω
.
Eine weitere Methode der Abtastung ist die Mittelwert-Abtastung. Hierbei wird das
Definitionsgebiet
Ω
→
Ω
in Teilmengen
Ω
i
partitioniert und die Mittelwerte von
u
:
R
über diese Teilmengen gespeichert:
1
|
Ω
i
|
=
(
)
U
i
u
x
d
x
.
Ω
i
Diese Sichtweise entspricht etwas mehr dem, was in einer Digitalkamera passiert: Der
Chip sammelt die Photonen über einen kleinen Bereich. Mathematisch gesehen kann
man den Standpunkt vertreten, dass ein Bild
u
gar nicht punktweise ausgewertet wer-
den kann da es eigentlich der „Distribution“ der Helligkeit entspricht. Etwas allgemei-
ner kann man auch die Mittelwert-Abtastung mit einer Testfunktion
R
d
φ
∈D
(
)
mit
0 und
φ
R
d
die Abtastpunkte und
φ
≥
d
x
=
1 definieren. Dazu seien
x
i
∈
U
i
=
R
d
φ
(
x
−
x
i
)
u
(
x
)
d
x
.
Die Mittelwert-Abtastung ist in diesem Fall auf für Distributionen gerechtfertigt, da
sie der Anwendung der Distribution auf eine Testfunktion im Sinne von Abschnitt 2.3
entspricht.
Beim Abtasten von Bildern gehen offensichtlich Informationen verloren. Es kann
aber sogar dazu kommen, dass sich „falsche“ oder unerwünschte Informationen ein-
schleichen, siehe Abbildung 3.1. Sowohl bei der Punkt-Abtastung als auch bei der
Mittelwert-Abtastung kommt es dabei zu Fehlern - die Fehler der Mittelwert-Abtastung
sind jedoch weniger auffällig. Das Abtasten von kontinuierlichen Bildern (beziehungs-
weise Signalen) ist eine eigene mathematische Theorie, welche wir in Abschnitt 4.2.2
behandeln werden. Den sogenannten „Alias-Effekt“ aus Abbildung 3.1 können wir in
Abschnitt 4.2.3 erklären.
3.1.3 Fehlermaße
Definition 3.4
(Mittlerer quadratischer Fehler (MSE))
Für zwei kontinuierliche Bilder
u
,
v
L
2
∈
(
Ω
)
ist der mittlere quadratische Fehler (mean
squared error)
1
|
Ω
|
1
|
Ω
|
2
2
2
d
x
.
MSE
(
u
,
v
)=
u
−
v
=
Ω
(
u
(
x
)
−
v
(
x
))
