Image Processing Reference
In-Depth Information
Tensorprodukt-Interpolation.
Die Methoden aus den vorhergehenden Abschnitten
lassen sich einfach auf mehrdimensionale Bilder verallgemeinern. Wir geben hier nur
die Formeln für zweidimensionale Bilder
U
R
N×M
an:
∈
Nearest neighbor:
N
i
=
1
M
j
=
1
U
i
,
j
φ
0
i
0
j
(
)=
2
=
(
)
φ
(
)
u
x
,
y
U
x
y
.
1
2
1
+
+
x
,
y
Stückweise bi-lineare Interpolation:
N
i
=
1
M
j
=
1
U
i
,
j
φ
1
i
1
j
(
)=
(
)
φ
(
)
u
x
,
y
x
y
.
Allgemeine interpolierende Funktion:
N
i
=
1
M
j
=
1
U
i
,
j
T
−
i
φ
(
x
)
T
−
j
φ
(
y
).
(
)=
u
x
,
y
3.1.2 Abtasten
Ω
→
Um ein kontinuierliches Bild
u
:
R
zu digitalisieren, wird es üblicherweise abge-
tastet. Dies kann auf verschiedene Weise geschehen. Wir beschreiben zuerst das Punkt-
Abtasten. Das heißt, in der Trägermenge
Ω
werden Abtastpunkte
x
i
definiert und es
werden die Werte
(
)=(
(
))
gespeichert. Üblicherweise werden Bilder auf regel-
mäßigen Gittern abgetastet. Nehmen wir an, dass unser Bild auf einem Rechteck, oder
noch einfacher auf einem Quadrat,
U
i
u
x
i
2
Ω =[
]
0, 1
gegeben ist, so bietet sich das Gitter
x
i
,
j
=(
i
/
N
,
j
/
N
)
,
i
,
j
=
1, . . . ,
N
an. Wir können dann das diskrete Bild
(
U
i
,
j
)=(
u
(
x
i
,
j
))
R
N
×
N
ansehen.
auch als Element
U
∈
Bemerkung 3.3
(Diskrete Bilder als Delta-Kamm)
Wir können die kontinuierliche Sichtweise auch auf abgetastete Bilder anwenden. Hier-
zu hilft im Falle der Punktabtastung folgende Beobachtung: Zu einer abzählbaren Men-
ge
I
sei
(
)
i
∈
I
ein diskretes Bild, so dass
∑
|
| <
∞
U
i
U
i
. Auf der Menge
I
definieren wir
das Zählmaß
μ
:
Anzahl der Elemente von
J
falls
J
endlich
μ
(
)=
J
∞
falls
J
unendlich .
Damit können wir
U
auch als Element von
L
1
μ
(
)
I
auffassen, denn
)
=
i∈I
|
U
i
|
.
U
L
1
μ
(
I