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∂
α
f
m
,∞
=
∞
sonst. Ferner ist
H
m
,
p
0
und
f
max
|α|≤m
H
m
,
p
(Ω)=
D
(Ω)
⊂
(Ω)
,
wobei der Abschluss bezüglich der Sobolew-Norm genommen wird.
<
<
∞
Die Sobolew-Räume sind Banach-Räume; für 1
p
sind sie reflexiv und für
p
=
2 bilden sie mit dem Skalarprodukt
=
∑
|α|≤m
(
∂
α
f
,
∂
α
g
(
)
H
m
)
2
f
,
g
Hilbert-Räume, wir schreiben auch
H
m
,2
H
m
.
Das Studium der Sobolew-Räume ist ein sehr umfassendes mathematisches Gebiet.
Da sich deren Definition sowie die der schwachen Ableitung auf das Lebesgue-Integral
stützt, sind die dort verwandten Techniken sehr eng mit der Integrationstheorie ver-
bunden. So sind zum Beispiel Ableitungsregeln wie die Kettenregel oder Produktregel
für Sobolew-Funktionen ebenfalls gültig, deren Nachweis ist aber bedeutend komple-
xer. Wichtig dafür sind Dichtheitsresultate basierend auf der Technik der sogenannten
Mollifier
, welche in Kapitel 3 vorgestellt wird. Der Großteil des Buches wird mit grundle-
genden Eigenschaften von Sobolew-Funktionen auskommen, also solche, die sich ohne
tieferen Einstieg in die Theorie beweisen lassen. Im Abschnitt 6.3 sollen allerdings, weil
dort der unmittelbare Zusammenhang mit der Anwendung von Bedeutung ist, einige
tiefer gehende Aussagen ausführlicher dargestellt werden. Eine umfassende Behand-
lung von Sobolew-Räumen wird nicht Gegenstand sein, dafür sei auf die entsprechende
Literatur (zum Beispiel [2] oder [149]) verwiesen.
Für Aussagen bezüglich der Eigenschaften von Sobolew-Funktionen ist die Beschaf-
fenheit des Gebiets
(
Ω
)=
(
Ω
)
in vielen Fällen Ausschlag gebend. Vor allem spielt das Verhalten
von Funktionen in der Nähe des Randes
Ω
eine Rolle, so dass man häufig Annahmen
darüber macht. Für unsere Zwecke wird aber der in Unterabschnitt 2.2.3 eingeführte
Begriff des Lipschitz-Gebietes ausreichend sein.
Bemerken wir noch, in welchem Sinne S
ob
olew-Funktionen Werte auf dem Rand
annehmen können. Klar ist, dass jedes
f
∂
Ω
H
1,
p
∈C
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
stetig auf dem Rand ist und
die Einschränkung daher in jedem
L
p
H
liegt. Allgemeine Sobolew-Funktionen
sind als Äquivalenzklassen von Funktionen in der Regel nicht gleichmäßig stetig, sie
besitzen dennoch eine sogenannte Spur auf
(
∂
Ω
)
d
−
1
∂
Ω
.
Satz 2.80
(Spuren von Sobolew-Funktionen)
Es sei
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und p
∈
[
1,
∞
[
. Dann gibt es eine eindeutig
e l
ineare
L
p
H
und stetige Abbildung T
:
H
1,
p
H
1,
p
(Ω)
→
(
∂
Ω)
∈
(Ω)
∩C
(Ω)
, so dass für alle u
gilt:
−
d
1
L
p
H
Tu
=
u
|
∂
Ω
. Die Abbildung T wird
Spuroperator
genannt, das Bild Tu
∈
(
∂
Ω
)
von
d
−
1
H
1,
p
u
∈
(
Ω
)
heißt
Spur
der Sobolew-Funktion u.
Einen
Beweis
kann man zum
Be
ispiel in [105] finden. Er basiert, grob dargestellt, darauf,
dass man
T
auf
H
1,
p
(Ω)
∩C
(Ω)
definiert und dann stetig fortsetzt. Eine wichtige Eigen-
schaft der Spur ist die Gültigkeit des Gaußschen Integralsatzes für Sobolew-Funktionen
auf Lipschitz-Gebieten.
