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daher nennt man Distributionen auch „verallgemeinerte Funktionen“. Ist eine Distri-
bution
T
von einer Funktion induziert, so nennen wir sie
regulär
. Beispiele für nicht
reguläre Distributionen sind zum Beispiel Radon-Maße
μ ∈
M(Ω
)
,
K
, die ebenfalls Dis-
tributionen induzieren, nämlich
μ
(
φ
)=
Ω
φ
(
)
μ
(
)
T
x
d
x
.
Die Dirac-Maße aus Beispiel 2.38 heißen in diesem Zusammenhang auch Dirac-Distri-
bution oder Delta-Distribution.
Auch Testfunktionen induzieren Distributionen und für beliebige Multiindizes
α
gilt
nach der Regel der partiellen Integration für
f
,
φ
∈D
(
Ω
)
)
|
α
|
∂
α
∂
)
∂
α
∂
)
|
α
|
T
f
(
∂
α
φ
)
(
φ
)=
(
)
φ
(
)
=(
−
(
x
α
φ
(
)
=(
−
T
f
x
x
d
x
1
f
x
x
d
x
1
.
∂
α
f
x
α
Ω
Ω
Dies nimmt man zum Anlass, die Ableitung einer Distribution zu definieren:
∂
α
T
)
|α|
T
(
∂
α
φ
)
(
φ
)=(
−
1
Leitet man die von einer Funktion induzierte Distribution ab, so spricht man auch von
der distributionellen Ableitung der Funktion. Man beachte, dass distributionelle Ab-
leitungen von Funktionen im Allgemeinen keine Funktionen sind. Sind sie es doch, so
nennt man sie schwache Ableitungen.
Definition 2.78
(Schwache Ableitung)
Es sei
R
d
L
loc
(
Ω
)
Ω
⊂
ein Gebiet,
f
∈
und
α
ein Multiindex. Existiert eine Funktion
L
loc
(Ω)
∈
φ ∈D
(Ω)
g
, so dass für alle
gilt
)
|α|
)
∂
α
φ
(
g
(
x
)
φ
(
x
)
d
x
=(
−
1
f
(
x
x
)
d
x
,
Ω
Ω
∂
α
f
so sagen wir, es existiert die
schwache Ableitung
=
g
. Existieren, für ein
m
≥
1 und
∂
α
f
, so ist
fm
-mal
schwach
alle Multiindizes
α
mit
|
α
|≤
m
die schwachen Ableitungen
differenzierbar
.
Dass wir die klassische und die schwache Ableitung mit dem gleichen Symbol belegt
haben, wird im Folgenden kaum zu Verwirrungen führen und es wird gegebenenfalls
explizit angegeben, welche Ableitung gemeint ist. Nach Lemma 2.75 (Fundamentallem-
ma der Variationsrechnung) ist die schwache Ableitung fast überall eindeutig bestimmt.
Definition 2.79
(Sobolew-Räume)
Es seien 1
N
. Der
Sobolew-Raum H
m
,
p
≤
p
≤
∞
und
m
∈
(
Ω
)
ist die Menge
(
Ω
)
∂
α
f
H
m
,
p
L
p
L
p
(
Ω
)=
{
f
∈
∈
(
Ω
)
für
|
α
|≤
m
}
,
versehen mit der sogenannten
Sobolew-Norm
⎛
⎞
1/
p
p
p
⎝
m
∂
α
f
⎠
∑
|
α
|≤
f
m
,
p
=
falls
p
<
∞
