Mathematische Grundlagen - Mathematische Bildverarbeitung - page 51

Satz 2.81 (Gaußscher Integralsatz, schwache Form)
Ist

)= H 1,1 (Ω) d

H 1,1 , K d ∈ (Ω Ω ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und f ein Sobolew-

Vektorfeld, so gilt: Die Spur von f in L 1
H

( ∂ Ω )

erfüllt

d − 1

d − 1

· ν = f d H div f d x ,

∂ Ω Ω

wobei f die Sobolew-Spur aus Satz 2.80 und ν die in Satz 2.73 eingeführte äußere Normale ist.

H 1, p ∗

H 1, p , K d

∈ (Ω ) ∈ (Ω)

Insbesondere folgt für f und g :

d − 1

· ν = + ·∇ f g d H g div f f g d x .

∂ Ω Ω

Dem Beweis liegt erneut zugrunde, dass die Identität für glatte Funktionen bezie-
hungsweise Vektorfelder wahr ist. Dichtheitsresultate übertragen die Gleichung dann
auf den allgemeinen Fall. Für die zweite A uss ag e wird außerdem benutzt, dass für das
Produkt gilt: fg H 1,1 , K d

∈ ( Ω )

und div

(

f g

)=

g div f

+

f

·∇

g .