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L
1
H
∈
(
∂
Ω)
2.
Ist f
, so gilt die Integralidentität:
−
d
1
n
j
=1
)
(
ϕ
j
f
)
◦
ψ
j
(
d
−
1
d
−
1
f
(
x
)
d
H
(
x
)=
J
j
(
x
x
,0
)
d
L
(
x
)
V
j
∩
R
d−
1
∂
Ω
det
D
j
(
)
,D
j
(
wobei J
j
(
x
)=
x
)
T
D
j
(
x
x
)
den ersten d
−
1
Spalten der Jacobi-Matrix
T
dessen Transponierte entspricht. Insbesondere lässt sich die Funk-
∇
ψ
j
(
x
,0
)
und D
j
(
x
)
d
−
1
-fast-überall in V
j
R
d−
1
definieren und ist dort wesentlich be-
∩
tion J
j
messbar
L
schränkt.
d
−
1
-messbare Abbildung
R
d
,
äußere Normale
genannt,
∂
Ω
→
3.
Es existiert eine
H
ν
:
d
−
1
-fast-überall, so dass für alle Vektorfelder f
L
1
,
R
d
mit
|
ν
(
x
)
|
=
1
H
∈
(
∂
Ω
)
gilt:
E
j
n
j
=
1
)
◦ ψ
j
·
−
−
d
1
d
1
∂
Ω
(
· ν
)(
)
(
)=
(
)
(
ϕ
j
f
(
)
(
)
f
x
d
H
x
J
j
x
x
,0
d
L
x
∩
R
d−
1
V
j
)
−
T
e
d
)
)
−
T
e
d
|
)
−
T
die
wobei E
j
durch E
j
(
x
)=(
∇
ψ
j
(
x
/
|∇
ψ
j
(
x
definiert ist und
∇
ψ
j
(
x
Inverse der transponierten Jacobi-Matrix
∇
ψ
j
(
x
)
bezeichne.
Ein wichtige Anwendung der Randintegration ist die Verallgemeinerung der Formel
der partiellen Integration auf mehrere Dimensionen, dem Integralsatz von Gauß.
Satz 2.74
(Gaußscher Integralsatz)
Ist
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und f
:
R
d
K
d
Ω
⊂
→
ein stetig differenzierbares
Vektorfeld, so gilt:
−
d
1
· ν
=
f
d
H
div
f
d
x
,
∂
Ω
Ω
wobei
die in Satz 2.73 eingeführte äußere Normale ist. Insbesondere folgt für jeweils stetig
differenzierbare Vektorfelder f
:
R
d
ν
K
d
und Funktionen g
:
R
d
→
→
K
:
d
−
1
f g
·
ν
d
H
=
g
div
f
+
f
·∇
g
d
x
.
∂
Ω
Ω
Einen
Beweis
kann man zum Beispiel wieder in [61] finden.
2.3 Schwache Differenzierbarkeit und Distributionen
Differenzierbare Funktionen lassen sich ebenfalls zu Räumen zusammenfassen. So de-
finiert man für ein Gebiet
R
d
Ω
⊂
K
∂
α
∂
k
C
(
Ω
)=
{
f
:
Ω
→
f
∈C
(
Ω
)
für
|
α
|≤
k
}
x
α
∂
α
∂
k
und
C
(
Ω
)
analog, versehen mit der Norm
f
k
,∞
=
max
f
∞
. Beliebig oft
|α|≤k
x
α
differenzierbare Funktionen werden wie folgt beschrieben:
K
∂
α
∂
C
∞
(Ω)=
{
N
d
Ω
→
∈C
(Ω)
α ∈
}
f
:
f
für alle
,
x
α
