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C
∞
(Ω)
wieder analog. Weiterhin ist noch die Bezeichnung
∈C
∞
(
Ω
)
supp
f
kompakt in
D
(
Ω
)=
{
f
Ω
}
gebräuchlich.
Der klassische Begriff der Differenzierbarkeit ist für einige Anwendungen zu ein-
schränkend. So wird zum Beispiel in der Lösungstheorie für partielle Differentialglei-
chungen oder auch in der Variationsrechnung ein schwächerer Ableitungsbegriff benö-
tigt. Grundlegend hierfür ist der Beobachtung, dass eine große Klasse von Funktionen
durch die Integrale von Produkten mit glatten Funktionen charakterisiert wird. Wir be-
zeichnen mit
L
loc
(
Ω
)
den Raum der Funktionen, deren Betrag über jede kompakte Teil-
menge von
Ω
integrierbar ist.
Lemma 2.75
(Fundamentallemma der Variationsrechnung)
Es sei
R
d
nichtleer, offen und f
L
loc
(
Ω
)
Ω
⊂
∈
. Dann gilt: f
=
0
fast überall, genau dann,
wenn für jedes
φ
∈D
(
Ω
)
gilt
=
f
φ
d
x
0.
Ω
Zu den Integralen
Ω
f
φ
d
x
sagt man auch:
f
wird mit
φ
„getestet“. Das Fundamen-
L
loc
(Ω)
∈
tallemma sagt also, dass eine Funktion
f
durch Testen mit allen Funktionen
φ
∈D
(
Ω
)
fast überall bestimmt ist. Man nennt deswegen den Raum
D
(
Ω
)
auch den
Raum der Testfunktionen
. Er ist folgendem Konvergenzbegriff ausgestattet:
Definition 2.76
(Konvergenz in
D
(
Ω
)
)
Eine Folge
(
φ
n
)
in
D
(
Ω
)
konvergiert gegen
φ
in
D
(
Ω
)
falls
⊂⊂
Ω
⊂
1.
eine kompakte Menge
K
existiert, so dass supp
φ
n
K
für alle
n
und
N
d
gilt
2.
für alle Multiindizes
α
∈
∂
α
φ
n
→ ∂
α
φ
gleichmäßig in
Ω
.
Mit Hilfe dieses Konvergenzbegriffes können wir stetige lineare Funktionale auf
D
(
Ω
)
betrachten:
Definition 2.77
(Distributionen)
Mit
D
(
Ω
)
∗
bezeichnen wir, analog zum Dualraum eines normierten Raumes, die Menge
der linearen und stetigen Funktionale
T
:
D
(Ω)
→
→ φ
K
. Dabei ist
T
stetig, falls für
φ
n
D
(
Ω
)
∗
nennen wir
Distributionen
. Eine
in
D
(
Ω
)
folgt
T
(
φ
n
)
→
T
(
φ
)
. Die Elemente von
(
)
φ ∈D
(Ω)
(
φ
)
→
Folge
T
n
von Distributionen konvergiert gegen
T
, falls für alle
gilt
T
n
T
(
φ
)
.
L
loc
(
Ω
)
Jede Funktion
f
∈
induziert eine Distribution
T
f
durch
(
φ
)=
(
)
φ
(
)
T
f
f
x
x
d
x
,
Ω
