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V
j
ψ
j
U
j
x
d
<
0
Ω
Abbildung 2.1.
Die Abbildungen
ψ
j
ziehen den Rand eines Lipschitz-Gebietes „lokal gerade“.
Beispiel 2.71
1.
Jeder offene Quader
Ω
=]
a
1
,
b
1
[
×
]
a
2
,
b
2
[
×
...
×
]
a
d
,
b
d
[
mit
a
i
<
b
i
für
i
=
1, . . . ,
d
ist ein beschränktes Lipschitz-Gebiet.
2.
Allgemeiner besitzt jedes konvexe beschränkte Gebiet die Lipschitz-Eigenschaft.
R
d
φ
(
Ω =
{
∈
)
<
}
3.
Definiert man
x
x
0
für eine stetig differenzierbare Funktion
:
R
d
→
φ
R
, so besitzt
Ω
, falls es beschränkt ist, die Lipschitz-Eigenschaft, wenn
∇
φ
(
x
)
=
0 für alle
x
∈
∂
Ω
gilt. Dies folgt aus der Anwendung des Umkehrsatzes.
Wichtig bei der Betrachtung von Lipschitz-Gebieten ist die Möglichkeit der Lokali-
sierung, vor allem für Teilstücke des Randes
∂
Ω
. Dafür gibt es folgendes technisches
Hilfsmittel:
Lemma 2.72
Zu jedem beschränkten Lipschitz-Gebiet
Ω
und den zugehörigen
M
engen U
j
gibt eine offene
Ω
⊂
j
=0
U
j
R
d
Menge U
0
⊂
Ω
und Funktionen
ϕ
0
,...,
ϕ
n
∈D
(
)
, so dass
ist sowie für
=
j
0,...,
n gilt:
n
j
=0
ϕ
j
(
x
)=
1
R
d
,
supp
ϕ
j
⊂⊂
U
j
,
ϕ
j
(
x
)
∈
[
0, 1
]
∀
x
∈
∀
x
∈
Ω
.
Die Funktionen
ϕ
j
werden eine U
0
,...,
U
n
untergeordnete
Partition der Eins
auf
Ω
genannt.
d
−
1
ausdrücken (siehe
Damit lässt sich Integration auf
∂
Ω
als Integration bezüglich
L
[61]).
Satz 2.73
(Integration auf dem Rand)
L
p
H
1.
Für ein beschränktes Lipschitz-Gebiet
Ω
und p
∈
[
1,
∞
[
ist f
∈
(
∂
Ω
)
genau dann,
−
d
1
wenn für eine untergeordnete Partition der Eins aus Lemma 2.72 gilt:
)
◦ ψ
j
(
·
L
p
L
p
R
d−
1
(
ϕ
j
|
|
)
∈
(
V
j
∩
)
=
f
,0
für
j
1,...,
n
.
d
−
1
