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(Ω
)
abstrakt definieren. Damit wird
,
F
2
,
μ
2
zu einem Maßraum, Integration auf
Ω
2
be-
züglich des Bildmaßes lässt sich erklären und es gilt
f
d
μ
2
=
f
◦
ϕ
d
μ
1
.
Ω
Ω
2
In Anwendungsfällen möchte man auf
Ω
2
bezüglich des Lebesgue-Maßes integrieren
und das Integral mit dem Koordinatenwechsel
ϕ
auf
Ω
1
„zurückziehen“. Bezüglich
d
dann das Bildmaß ist, klärt der folgende Satz:
welchen Maßes
L
Satz 2.69
(Transformationssatz für das Lebesgue-Maß)
Seien
R
d
nichtleer, offen und
Ω
1
,
Ω
2
⊂
ϕ
:
Ω
1
→
Ω
2
ein Diffeomorphismus, das heißt
ϕ
ist
ϕ
−
1
sind stetig differenzierbar.
Dann gilt für alle Lebesgue-messbaren A
invertierbar und
ϕ
sowie
⊂
Ω
2
:
d
d
.
L
(
A
)=
(
A
)
|
det
∇
ϕ
|
d
L
ϕ
−
1
L
1
Ist f
:
Ω
2
→
[
0,
∞
]
Lebesgue-messbar beziehungsweise f
∈
(
Ω
2
,
X
)
für ein Banach-Raum
X, so gilt
d
d
,
f
d
L
=
Ω
1
|
det
∇
ϕ
|
(
f
◦
ϕ
)
d
L
Ω
2
Lebesgue-messbar beziehungsweise in L
1
insbesondere ist
|
det
∇
ϕ
|
(
f
◦
ϕ
)
(
Ω
1
,
X
)
.
Die Integration auf Flächen und Flächenstücken ist für uns ebenfalls von Interesse.
Hier beschränken wir uns auf die Integration bezüglich des
d
−
1
-Maßes auf dem Rand
H
∂
Ω
eines sogenannten Gebietes
. Um diese Integrale ausrechnen zu können, wollen
wir sie unter einer geeigneten Parametrisierung transformieren. Dafür wird der folgen-
de Regularitätsbegriff für Mengen beziehungsweise dessen Rand benötigt.
Ω
Definition 2.70
(Gebiet/Beschränktes Lipschitz-Gebiet)
Eine nichtleere, offene, zusammenhängende Menge
R
d
wird
Gebiet
genannt. Ist
Ω
⊂
Ω
zusätzlich beschränkt, so spricht man von einem
beschränktem Gebiet
.
Ein beschränktes Gebiet
besitzt die
Lipschitz-Eigenschaft
oder ist ein beschränktes
Lipschitz-Gebiet
, falls es eine endliche offene Überdeckung
U
1
,...,
U
n
des Randes
Ω
∂
Ω
,
offene Teilmengen
V
1
,...,
V
n
und es für jedes
j
=
1, . . . ,
n
eine Lipschitz-stetige Abbil-
→
∈
∈
Ω
dung
ψ
j
:
V
j
U
j
mit Lipschitz-stetiger Inversen gibt, so dass für alle
x
U
j
gilt:
x
genau dann, wenn
ψ
−
1
j
)
d
<
(
x
0 (also die
d
-te Komponente des Urbildes von
x
unter
ψ
j
negativ ist).
Diese Bedingung ist äquivalent zu der in der Literatur ebenfalls häufig gebrauchten
alternativen Bedingung, dass sich der Rand von
lokal und nach einem Koordina-
tenwechsel als der Graph einer Lipschitz-Funktion darstellen lässt [138]. Mit Hilfe der
Abbildungen
Ω
ψ
j
lässt sich der Rand von
Ω
„lokal gerade ziehen“, siehe Abbildung 2.1.
