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Satz 2.62
(Riesz-Markow Darstellungssatz)
Es sei
R
d
,d
,
X
∗
)
∗
. Dann existiert
Ω
⊂
≥
1
eine nichtleere, offene Teilmenge und F
∈C
0
(
Ω
μ ∈
M(Ω
)
|μ|
genau ein
,
X
(mit der Polarzerlegung
und
σ
), so dass
,
X
∗
)
F
,
f
=
f
d
μ
=
Ω
f
(
t
)
,
σ
(
t
)
d
|
μ
|
(
t
)
für alle f
∈C
0
(
Ω
.
Ω
=
μ
M
Es gilt darüber hinaus
F
.
Beispiel 2.63
Für
Ω =[
]
∈C
0
(Ω)
a
,
b
definiert das Riemann-Integral für
f
vermöge
b
f
→
f
(
t
)
d
t
a
C
0
(Ω)
∗
und damit ein endliches, sogar positives Radon-Maß, welches
mit der Einschränkung des eindimensionalen Lebesgue-Maßes auf
ein Element in
[
a
,
b
]
übereinstimmt.
M(Ω
)
als Dualraum hat man sofort den Begriff
der schwach*-Konvergenz im Sinne von Definition 2.19: Es ist nämlich
Mit der Charakterisierung von
,
X
μ
n
∗
μ
für eine
Folge
(
μ
n
)
in
M
(
Ω
,
X
)
und ein
μ
∈
M
(
Ω
,
X
)
genau dann, wenn
,
X
∗
)
→
∈C
0
(Ω
f
d
μ
n
f
d
μ
für alle
f
.
Ω
Ω
eine Teilmenge des
R
d
ist, liefert der Darstellungssatz von Riesz-
Markow zusammen mit dem Satz von Banach-Alaoglu (Satz 2.21) folgendes Kompakt-
heitsresultat, welches eine gewisse Analogie zu der schwachen Folgenkompaktheit in
L
p
Im Fall, dass
Ω
μ
(
Ω
,
X
)
darstellt.
Satz 2.64
Es sei
R
d
eine nichtleere, offene Teilmenge. Dann besitzt jede beschränkte Folge
Ω
⊂
(
μ
n
)
in
M(Ω
)
,
X
eine schwach*-konvergente Teilfolge.
2.2.3 Operationen auf Maßen
Hat man zwei Maßräume jeweils auf
Ω
1
und
Ω
2
gegeben, so lässt sich leicht ein Maß
auf dem kartesischen Produkt
Ω
1
×
Ω
2
konstruieren. Dies ist beispielsweise hilfreich
für die Integration auf
R
d
1
+
d
2
R
d
1
R
d
2
.
=
×
Definition 2.65
(Produktmaß)
Für Maßräume
(
Ω
1
,
F
1
,
μ
1
)
und
(
Ω
2
,
F
2
,
μ
2
)
bezeichne mit
F
1
⊗
F
2
die von den Mengen
A
×
B
,
A
∈
F
1
und
B
∈
F
2
erzeugte
σ
-Algebra.
Ein
Produktmaß
μ
1
⊗
μ
2
ist ein auf
F
1
⊗
F
2
gegebenes Maß
μ
1
⊗
μ
2
, für welches gilt:
(
μ
1
⊗
μ
2
)(
A
)=
μ
1
(
A
)
μ
2
(
B
)
für alle
A
∈
F
1
,
B
∈
F
2
.
(Ω
1
×
Ω
2
,
⊗
F
2
,
⊗ μ
2
)
Das Tripel
F
1
μ
1
ist ein
Produktmaßraum
.
