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Ausgehend davon lassen sich natürlich Messbarkeit und Integrierbarkeit auf Pro-
duktmaßen erklären. Die zentrale Frage, ob ein Produktmaß eindeutig ist und ob sich
das Integral im Falle dessen Existenz durch ein Doppelintegral ausrechnen lässt, beant-
wortet der Satz von Fubini, mit dessen Begründung sich häufig die Integrationsreihen-
folge vertauschen lässt.
Satz 2.66
(Fubini)
Es seien
(Ω
1
,
)
(Ω
2
,
)
σ
-endliche Maßräume und X ein Banach-Raum.
Dann existiert ein eindeutiges Produktmaß
F
1
,
μ
1
und
F
2
,
μ
2
μ
1
⊗
μ
2
, der zugehörige Produktmaßraum
(Ω
1
×
Ω
2
,
⊗
F
2
,
⊗ μ
2
)
F
1
μ
1
ist
σ
-endlich und es gilt:
⊂
Ω
1
×
Ω
2
lässt sich mit Hilfe der Mengen A
t
=
1.
Das Maß jeder messbaren Menge A
∈
Ω
1
(
∈
Ω
2
(
{
s
s
,
t
)
∈
A
}
,A
s
=
{
t
s
,
t
)
∈
Ω
2
}
ausdrücken durch
(
μ
1
⊗
μ
2
)(
A
)=
2
μ
1
(
A
t
)
d
μ
2
(
t
)=
Ω
1
μ
2
(
A
s
)
d
μ
1
(
s
)
.
Ω
Insbesondere ist A
t
μ
2
-fast-überall
μ
1
-messbar, A
s
μ
1
-fast-überall
μ
2
-messbar und die
Funktionen t
→ μ
1
(
)
→ μ
2
(
)
μ
2
- beziehungsweise
A
t
und s
A
s
μ
1
-messbar.
(
μ
1
⊗ μ
2
)
×
Ω
2
→
2.
Eine
-messbare Abbildung f
:
Ω
1
X ist genau dann integrierbar,
→
Ω
1
→
Ω
2
falls t
)
μ
1
-
integrierbar ist. Insbesondere sind diese Funktionen stets messbar und im Fall der Inte-
grierbarkeit gilt:
f
(
s
,
t
)
X
d
μ
1
(
s
)
μ
2
-integrierbar oder s
f
(
s
,
t
)
X
d
μ
2
(
t
d
f
(
s
,
t
)
d
(
μ
1
⊗
μ
2
)(
s
,
t
)=
f
(
s
,
t
)
d
μ
1
(
s
)
μ
2
(
t
)
Ω
1
×
Ω
2
Ω
2
Ω
1
d
=
f
(
s
,
t
)
d
μ
2
(
t
)
μ
1
(
s
)
.
Ω
1
Ω
2
Bemerkung 2.67
Die entsprechenden Aussagen gelten auch für den vervollständigten Maßraum
Ω
1
×
⊗
μ
2
.
Ω
2
,
(
F
1
⊗
F
2
)
μ
1
⊗
μ
2
,
μ
1
Beispiel 2.68
Man kann zeigen, dass das Produkt von Lebesgue-Maßen wieder ein Lebesgue-Maß ist:
L
d
−
n
n
d
für natürliche 1
d
, [55]. Dies erleichtert die Integration auf
R
d
:
⊗
L
=
L
≤
n
<
f
(
t
)
d
t
=
f
(
t
1
,
t
2
)
d
t
1
d
t
2
,
t
=(
t
1
,
t
2
)
R
d
R
n
R
d−n
L
1
R
d
,
X
für
f
. Nach dem Satz von Fubini hängt der Wert des Integrals nicht von
der Reihenfolge der Integration ab.
∈
(
)
Zu einem Maßraum
(
Ω
1
,
F
1
,
μ
1
)
, einem messbaren Raum
(
Ω
2
,
F
2
)
und einer mess-
→
Ω
2
kann man das
Bildmaß
baren Abbildung
ϕ
:
Ω
1
)=
μ
1
ϕ
−
1
)
,
(
(
∈
F
2
μ
2
A
A
A
