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Satz 2.58
(Polarzerlegung von Maßen)
Zu jedem vektorwertigen Maß
L
|μ|
(
Ω
μ
auf
Ω
existiert ein Element
σ
∈
,
X
)
welches
σ
(
t
)
X
=
1
|
μ
|
-fast-überall und
μ
(
)=
A
σ
(
)
|μ|
(
)
A
t
d
t
∈
F
(
|μ|
σ
)
für alle A
erfüllt. Das Paar
,
wird
Polarzerlegung
von
μ
genannt.
Von der anderen Seite betrachtet gibt jedes positive Maß und eine bezüglich die-
ses Maßes messbare, fast-überall auf 1 normierte Funktion durch obige Darstellung ein
vektorwertiges Maß. Insofern ergibt sich durch die Einführung dieses Begriffs auf den
ersten Blick nichts Neues. Man gewinnt jedoch eine Banach-Raum-Struktur.
Satz 2.59
(Raum der Radon-Maße)
Die Menge
X
μ
M
(
Ω
,
X
)=
{
μ
:
B
(
Ω
)
→
vektorwertiges endliches Radon-Maß
}
μ
M
=
|μ|
(Ω)
ist, ausgestattet mit der Norm
, ein Banach-Raum.
Beispiel 2.60
(Vektorwertige endliche Radon-Maße)
Es sei
R
d
,
d
Ω
⊂
≥
1 eine nichtleere, offene Teilmenge. Jedem
k
∈
[
0,
d
]
und jedem
L
1
H
∈
(Ω
)
∈
M(Ω
)
Element
f
,
X
lässt sich ein
μ
f
,
X
zuordnen durch
k
k
μ
f
(
A
)=
f
(
t
)
d
H
(
t
)
.
A
Es gilt
μ
f
M
=
f
1
, daher ist diese Abbildung injektiv und das Bild ein abgeschlos-
sener Unterraum.
Für
k
d
d
, dass man
L
1
=
= L
(Ω
)
d
ergibt sich wegen
H
,
X
als Unterraum von
M
(
Ω
μ
f
wegen der Forderung nach der Inte-
grierbarkeit von
f
nur auf entsprechend „dünnen“ Mengen nichttrivial sein, beispiels-
weise auf geeigneten
k
-dimensionalen Flächenstücken. Für
k
,
X
)
auffassen kann. Für
k
<
d
kann
=
0 lässt sich
μ
f
durch
=
∑
i
=1
x
i
δ
t
i
eine höchstens abzählbare Folge von Dirac-Maßen ausdrücken:
μ
f
mit
1
∈
(
)
∈
Ω
x
X
und
t
i
paarweise disjunkt.
, die weitreichende funktionalanalytische Schlüs-
se zulässt, ist die Identifikation des Raumes der Radon-Maße mit einem geeigneten
Banach-Raum, nämlich dem Dualraum der stetigen Funktionen, die, grob gesprochen,
auf dem Rand von
Ein Interpretation von
M
(
Ω
,
X
)
Ω
verschwinden.
Definition 2.61
Der Abschluss von
C
c
(
Ω
,
X
)
in
C
(
Ω
,
X
)
sei mit
C
0
(
Ω
,
X
)
bezeichnet.
