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Bemerkung 2.52
•
Die Tatsache, dass
J
wie oben eine stetige Abbildung ist mit
Jf
∗
L
p
f
∗
p
∗
)
∗
≤
μ
(
Ω
,
X
liegt der
Hölder-Ungleichung
zugrunde:
p
)
X
∗
×X
d
1
1
p
∗
.
p
X
∗
p
X
d
f
∗
(
f
∗
(
)
(
μ
(
)
≤
Ω
(
)
μ
(
)
Ω
)
μ
(
)
t
,
f
t
t
f
t
t
t
d
t
Ω
f
n
(
)
Gleichheit bekommt man in der Regel durch die Wahl einer normierten Folge
,
f
∗
p
∗
. Die Surjektivität von
J
ist allerdings ein tiefliegendes
Resultat aus der Maßtheorie: Sie basiert auf dem
Satz von Radon-Nikodym
, eine
Aussage darüber, wann ein Maß als Integral bezüglich eines anderen Maßes aus-
gedrückt werden kann [55].
Jf
∗
,
f
n
für die
→
•
Wie schon erwähnt, spielt die Bedingung, dass
X
reflexiv sein muss, nur im Un-
endlichdimensionalen eine Rolle, da jeder endlichdimensionale Raum reflexiv ist.
Es gibt Beispiele für nichtreflexive
X
, für die die obige Charakterisierung des
Dualraumes falsch ist.
Man rechnet leicht nach, dass der „biduale Exponent“
p
∗∗
=
p
für endliche
p
erfüllt,
daher:
Korollar 2.53
Die Räume L
p
μ
(
Ω
,
X
)
sind reflexiv falls p
∈
]
1,
∞
[
und X reflexiv.
Insbesondere ergibt sich nach dem Satz von Eberlein-Šmulyan (Satz 2.22) für jede
beschränkte Folge in
L
p
μ
(
Ω
,
X
)
(1
<
p
<
∞
) die Existenz einer schwach konvergenten
Teilfolge.
Funktionen in
L
p
lassen sich durch stetige Funktionen approximieren, insbe-
sondere durch solche, die einen kompakten Träger haben.
(
Ω
,
X
)
Definition 2.54
Es sei
R
d
Ω
⊂
eine nichtleere, offene Teilmenge versehen mit der Relativtopologie in
R
d
.
Eine Funktion
f
∈C
(
Ω
,
X
)
hat einen
kompakten Träger
(„
support
“) in
Ω
, falls die
Menge
∈
Ω
f
supp
f
=
{
t
(
t
)
=
0
}
kompakt in
ist.
Der Unterraum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bezeichnen wir mit
Ω
)
f
hat kompakten Träger
C
c
(
Ω
,
X
)=
{
f
∈C
(
Ω
,
X
}⊂C
(
Ω
,
X
)
.
