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Satz 2.55
Der Menge
ist dicht in L
p
L
p
C
c
(
Ω
,
X
)
(
Ω
,
X
)
für
1
≤
p
<
∞
, d.h. zu jedem f
∈
(
Ω
,
X
)
und
ε >
∈C
c
(Ω
)
−
p
≤ ε
jedem
0
existiert ein g
,
X
, so dass
f
g
.
Neben den Lebesgue-Räumen, die Klassen messbarer Funktionen enthalten, werden
auch Banach-Räume von Maßen betrachtet. Unser Interesse gilt vor allem dem Raum
der signierten bzw. vektorwertigen Radon-Maße. Diese beinhalten im gewissen Sinn
Funktionen, darüber hinaus aber auch Maße, die sich nicht als Funktion oder Funk-
tionenklasse auffassen lassen. Sie stellen daher schon eine Menge verallgemeinerter
Funktionen dar, d.h. Objekte die man im allgemeinen nicht mehr punktweise auswerten
kann. Wir halten bei der Zusammenfassung der wichtigsten grundlegenden Resultate
im Folgenden an die Darstellung in [60, 7].
Definition 2.56
(Vektorwertiges Maß)
Eine Funktion
F
→
(Ω
F)
μ
:
X
auf einem messbaren Raum
,
in den endlichdimensiona-
len Banach-Raum
X
wird
vektorwertiges Maß
genannt, falls
1.
μ
(∅)=
0 und
2.
für
A
i
∈
F
,
i
∈
N
mit
A
i
paarweise disjunkt folgt
A
i
∞
i
=
1
μ
(
A
i
).
=
μ
∈
i
N
=
Ist
X
R
, so heißt
μ
auch
signiertes Maß
.
Den Spezialfall
F
=
B
(
Ω
)
bringt man durch den Begriff
vektorwertiges endliches
Radon-Maß
zum Ausdruck.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen positiven und vektorwertigen Maßen ist die
Tatsache, dass der „Wert“
ausgeschlossen ist, jede messbare Menge also „endliches
Maß“ hat. Es gibt einen fundamentalen Zusammenhang zwischen vektorwertigen Ma-
ßen und positive Maße im Sinne von Definition 2.37.
∞
Definition 2.57
(Totalvariations-Maß)
Zu einem vektorwertigen Maß
(Ω
F)
μ
auf dem messbaren Raum
,
und mit Werten in
X
bezeichne das durch
i
=1
μ
(
A
i
)
X
A
=
i∈
N
A
i
,
A
i
∈
F paarweise disjunkt
sup
∞
∈
F
|μ|
(
)=
A
:
A
gegebene Maß das
Totalvariations-Maß
oder
Variations-Maß
zu
μ
.
Man kann zeigen, dass
|
μ
|
immer ein positives endliches Maß ergibt. Ist
μ
ein vek-
torwertiges endliches Radon-Maß, so ist
|μ|
ein positives endliches Radon-Maß. In der
Tat kann man das Totalvariations-Maß als eine Art Absolutbetrag interpretieren, es gilt
nämlich:
