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Wenden wir uns nun funktionalanalytischen Betrachtungen zu; zunächst der Voll-
ständigkeit der Lebesgue-Räume welche auf folgendem Resultat basiert.
Satz 2.48
(Fischer-Riesz)
Es sei
1
und L
p
in L
p
≤
<
∞
μ
(Ω
)
(
)
μ
(Ω
)
p
,
X
ein Lebesgue-Raum. Für jede Cauchy-Folge
f
n
,
X
L
p
(
f
n
k
)
∈
μ
(Ω
)
gibt es eine Teilfolge
, die punktweise fast überall gegen ein f
,
X
konvergiert.
finL
p
→
μ
(Ω
)
→
∞
Insbesondere gilt die Konvergenz f
n
,
X
für n
.
= ∞
Diese Aussage ist auch wahr für
p
, man braucht sich allerdings nicht auf Teil-
folgen zu beschränken.
Korollar 2.49
Der Lebesgue-Raum L
p
μ
(Ω
)
,
X
ist ein Banach-Raum. Im Fall, dass X ein Hilbert-Raum ist,
ergibt L
2
μ
(
Ω
,
X
)
ebenfalls einen Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt
f
)
X
d
(
f
,
g
)
2
=
(
t
)
,
g
(
t
μ
(
t
)
.
Ω
Beispiel 2.50
(Folgenräume)
Mit dem Zählmaß
μ
auf
N
ergeben sich Lebesgue-Räume, die Folgen in
X
beinhalten
(es ist
die einzige Nullmenge). Sie werden dementsprechend
Folgenräume
genannt.
Wir verwenden die Bezeichnung
∅
p
(
)
X
für allgemeine Banach-Räume
X
und schreiben
p
im Fall
X
=
K
. Die Norm einer Folge
f
:
N
→
X
lässt sich einfach ausdrücken durch
∞
n
=1
f
n
X
1/
p
p
f
p
=
,
f
∞
=
sup
n
∈
N
f
n
X
.
Damit betten sich die Lebesgue-Räume in die Banach-Raum- und Hilbert-Raum-
Theorie ein. Diese motiviert auch weitere topologische Betrachtungen wie zum Beispiel
die Charakterisierung der Dualräume. Für den Fall, dass
L
p
μ
(Ω
)
,
X
ein Hilbert-Raum
ist, also
p
=
2 und
X
ein Hilbert-Raum, gibt der Rieszsche Darstellungssatz 2.35 sofort
)=
L
2
)
∗
im Sinne der Hilbert-Raum-Isometrie
L
2
μ
(
Ω
,
X
μ
(
Ω
,
X
)
→
L
2
)
∗
,
J
:
L
2
Jf
∗
)
,
f
∗
(
μ
(
Ω
,
X
μ
(
Ω
,
X
(
f
=
Ω
(
f
(
t
)
t
))
d
μ
(
t
)
.
Die Situation ist ähnlich für ein allgemeines
p
: Mit Ausnahme von
p
sind die ent-
sprechenden Dualräume wieder Lebesgue-Räume mit einer analogen Isometrie. Ein-
schränkungen gelten jedoch, falls der Wertebereich
X
unendlichdimensional ist [48].
=
∞
Satz 2.51
(Dualraum eines Lebesgue-Raumes)
Es sei
1
, X ein reflexiver Banach-Raum und L
p
≤
<
∞
μ
(Ω
)
p
,
X
der Lebesgue-Raum bezüglich
. Bezeichne mit p
∗
den
dualen Exponenten
, d.h. die
des
σ
-endlichen Maßraumes
(
Ω
,
F
μ
,
μ
)
1/
p
∗
=
1
(mit p
∗
=
∞
Lösung von
1/
p
+
falls p
=
1
). Dann ist durch
L
p
∗
,
J
:
L
p
∗
,
X
∗
)
→
Jf
∗
)
f
∗
(
μ
(
Ω
μ
(
Ω
,
X
)
(
f
=
Ω
t
)
,
f
(
t
)
X
∗
×X
d
μ
(
t
)
eine Banach-Raum-Isometrie definiert.
