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Beispiel 2.45
(Standard-Lebesgue-Räume)
Für den Fall
R
d
d
Ω
⊂
nichtleer und messbar werden die zu
(
Ω
,
B
(
Ω
)
L
d
,
L
Ω
)
asso-
ziierten Räume einfach mit
L
p
(Ω
)
=
,
X
bezeichnet. Im Fall
X
K
schreiben wir auch
L
p
(
Ω
)
. Dies sind die
Standard-Lebesgue-Räume
.
Zu dem Übergang zu Äquivalenzklassen und der Definition der Lebesgue-Räume
lassen sich eine Reihe von Bemerkungen machen.
•
Die in Definition 2.44 angeführten Normen sind wohldefinierte Abbildungen auf
den Äquivalenzklassen, das heißt, sie hängen nicht vom jeweiligen Repräsen-
tanten ab. Wir werden der in der Literatur üblichen Konvention folgen und für
f
L
p
∈
(Ω
)
stillschweigend einen Repräsentanten auswählen, der auch mit
f
bezeichnet sei, solange alles darauf folgende nicht vom Repräsentanten abhängt.
,
X
•
Es handelt sich bei
·
p
tatsächlich um Normen auf einem Vektorraum: Die posi-
tive Homogenität lässt sich unmittelbar aus der Definition ableiten. Für Integrale
gilt auch die
Minkowski-Ungleichung
1/
p
1/
p
1/
p
p
X
d
p
X
d
p
X
d
Ω
f
+
g
μ
≤
Ω
f
μ
+
Ω
g
μ
woraus sich die Dreiecksungleichung für
p
lässt
sich direkt zeigen. Letztlich reflektiert die Forderung nach der positiven Definit-
heit, dass ein Übergang zu Äquivalenzklassen nötig ist, da das Integral einer nicht-
negativen messbaren Funktion genau dann verschwindet, wenn sie punktweise
fast überall gleich Null ist.
∈
[
1,
∞
[
ergibt; der Fall
p
=
∞
Für Folgen von messbaren beziehungsweise integrierbaren Funktionen im Sinne
von Lebesgue gelten eine Reihe von Konvergenzaussagen, von denen die wichtigsten
im Folgenden vorgestellt werden. Beweise können zum Beispiel in [48, 50] gefunden
werden.
Lemma 2.46
(Lemma von Fatou)
Zu einem Maßraum
(Ω
μ
)
(
)
,
F
μ
,
sei eine Folge
f
n
von nicht-negativen messbaren Funktionen
f
n
:
Ω
→
[
0,
∞
]
,n
∈
N
gegeben. Dann gilt:
(
)
μ
(
)
≤
(
)
μ
(
)
lim inf
n
f
n
t
d
t
lim inf
n
f
n
t
d
t
.
→
∞
→
∞
Ω
Ω
Satz 2.47
(Lebesgues Satz von der majorisierten Konvergenz)
Es sei
1
≤
p
<
∞
,
(
Ω
,
F
μ
,
μ
)
ein Maßraum, X ein Banach-Raum und
(
f
n
)
eine Folge in
L
p
μ
(
Ω
,
X
)
die
μ
-fast-überall punktweise gegen ein f
:
Ω
→
X konvergiert. Angenommen es
L
p
existiert ein g
∈
(Ω)
(
)
X
≤
(
)
μ
∈
für welches
f
n
t
g
t
-fast-überall für alle n
N
, so ist
L
p
f
∈
μ
(
Ω
,
X
)
und es gilt
p
p
d
Ω
(
)
−
(
)
μ
(
)=
lim
n
f
n
t
f
t
t
0.
→
∞
