Image Processing Reference
In-Depth Information
Die letztere Form des Integrals ist dabei die interessante Konstruktion. Man kann
zeigen, dass diese sinnvoll ist, das heißt im Falle der Integrierbarkeit es eine Folge von
Treppenfunktionen gibt, die punktweise fast überall gegen diese Funktion konvergiert
(im Sinne der Norm-Konvergenz) und der Grenzwert in der Definition existiert (dafür
benötigt man die Vollständigkeit des Raumes). Außerdem zeigt sich, dass das Integral
unabhängig von der Wahl der Folge ist. Die Linearität bezüglich des Integranden folgt
ebenso unmittelbar aus der Definition.
•
Handelt es sich bei
X
um die reellen Zahlen, so ist die Messbarkeit von
f
:
Ω
→
R
gleichbedeutend mit der Messbarkeit von
f
+
=
max
(
0,
f
)
und
f
−
=
−
min
(
0,
f
)
.
Genauso ist
f
integrierbar, genau dann wenn
f
und
f
es sind und es gilt:
+
−
μ
=
μ −
f
d
f
d
f
d
μ
.
+
−
Ω
Ω
Ω
Ω
→
Das Integral ist
monoton
, d.h. für
f
,
g
:
R
integrierbar oder
f
,
g
nicht-negativ
messbar haben wir
f
≤
g
fast überall
⇒
f
d
μ
≤
g
d
μ
.
Ω
Ω
•
Für
f
C
ist die Messbarkeit von
f
äquivalent zu der Messbarkeit von
Re
f
sowie Im
f
. Integrierbarkeit ist ebenso genau dann gegeben, wenn Real- und
Imaginärteil integrierbar sind. Für das Integral gilt:
:
Ω
→
i
f
d
μ
=
Re
f
d
μ
+
Im
f
d
μ
.
Ω
Ω
Ω
Analoges gilt für
N
-dimensionale
K
-Vektorräume
X
.
•
Ist
X
ein allgemeiner Banach-Raum, so wird das in Definition 2.43 eingeführte
Integral auch
Bochner-Integral
genannt [56]. Integrierbare Abbildungen in diesem
Sinn haben bis auf das Bild einer Nullmenge einen separablen Wertebereich in
X
.
Dies spielt vor allem bei unendlichdimensionalen Banach-Räumen eine Rolle.
•
Ein wichtiger Zusammenhang, der zwischen dem Integral vektorwertiger Abbil-
dungen und nichtnegativer Funktionen besteht, ist die folgende fundamentale
Abschätzung:
X
≤
f
(
t
)
d
μ
(
t
)
Ω
f
(
t
)
X
d
μ
(
t
)
.
Ω
•
In Verbindung mit dem Integralzeichen sind einige spezielle Schreibweisen üb-
lich: Ist
A
eine
μ
-messbare Teilmenge von
Ω
, so wird das Integral eines messba-
ren/integrierbaren
f
über
A
erklärt durch
f
(
)
∈
t
falls
t
A
f
d
f
μ
=
(
)=
f
d
μ
,
t
0
sonst.
A
Ω
Dies entspricht dem Integral über der Einschränkung von
μ
auf
A
.
