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d
und einer Lebesgue-messbaren Teilmenge
Ω
⊂
Im Falle des Lebesgue-Maßes
L
R
d
kürzt man gerne ab:
d
f
(
t
)
d
L
(
t
)=
f
(
t
)
d
t
=
f
d
t
Ω
Ω
Ω
wobei letztere Schreibweise zu Missverständnissen führen kann und nur verwen-
det wird, falls klar ist, dass
f
eine Funktion von
t
ist.
-Integrierbarkeit
für nicht-negative Funktionen sowie
vektorwertiger Abbildungen bezeichnen die jeweiligen Analoga für den vervollständig-
ten Maßraum
Die Begriffe
μ
-Messbarkeit
und
μ
. Sie bilden die Grundlage für die
Lebesgue-Räume
, die wir hier
gleich als Räume von Äquivalenzklassen messbarer Funktionen einführen.
(
Ω
,
F
μ
,
μ
)
2.2.2 Lebesgue-Räume und Vektorräume von Maßen
Definition 2.44
(Lebesgue-Räume)
Es sei
(
Ω
,
F
μ
,
μ
)
ein vervollständigter Maßraum und
(
X
,
·
X
)
ein Banach-Raum. Für
ein
μ
-messbares
f
:
Ω
→
X
bezeichnen wir mit
[
f
]
die zu
f
assoziierte Äquivalenzklasse
unter der Relation
f
∼
g
⇔
f
=
g
fast überall.
[
]
Eine solches
ist messbar beziehungsweise integrierbar, wenn es einen messbaren
bzw. integrierbaren Repräsentanten gibt.
Es sei
p
f
∈
[
1,
∞
[
. Der
Lebesgue-Raum der p-integrierbaren Abbildungen
ist die Menge
-messbar,
L
p
p
X
d
μ
(
Ω
,
X
)=
[
f
]
f
:
Ω
→
X
μ
Ω
f
(
t
)
μ
(
t
)
<
∞
ausgestattet mit der Norm
1/
p
p
X
d
[
]
p
=
Ω
(
)
μ
(
)
f
f
t
t
.
Der Raum der
wesentlich beschränkten Abbildungen
ist definiert als
]
f
:
L
μ
(Ω
)=
{
[
Ω
→
(
·
)
X
:
Ω
→
}
,
X
f
X
μ
-messbar,
f
R
beschränkt
mit der Norm
inf
sup
t
)
X
g
:
g
.
[
f
]
∞
=
∈
Ω
g
(
t
Ω
→
X
messbar,
f
∼
Ω
→
[
−
∞
∞]
definiert man das
wesentliche Supre-
mum
beziehungsweise das
wesentliche Infimum
durch
Für reellwertige Funktionen
f
:
,
g
:
ess sup
f
=
inf
{
sup
x
g
(
x
)
Ω
→
[
−
∞
,
∞
]
messbar ,
f
∼
g
}
,
bzw.
∈
Ω
)
g
:
ess inf
f
=
sup
{
inf
x
g
(
x
Ω
→
[
−
∞
,
∞
]
messbar ,
f
∼
g
}
.
∈
Ω
